4、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知以向量v=(1, )为方向向量的直线l过点(0, ),抛物线C:(p>0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线上.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)设A、B是抛物线C上两个动点,过A作平行于x轴的直线m,直线OB与直线m交于点N,若(O为原点,A、B异于原点),试求点N的轨迹方程.
解:(Ⅰ)由题意可得直线l: ①
过原点垂直于l的直线方程为 ②
解①②得.
∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上.
∴,
∴抛物线C的方程为.
(Ⅱ)设,,,
由,得.
又,.
解得 ③
直线ON:,即 ④
由③、④及得,
点N的轨迹方程为.
3、(江苏省启东中学高三综合测试三)(1)在双曲线xy=1上任取不同三点A、B、C,证明:⊿ABC的垂心H也在该双曲线上;
(2)若正三角形ABC的一个顶点为C(―1,―1),另两个顶点A、B在双曲线xy=1另一支上,求顶点A、B的坐标。
解:(1)略;(2)A(2+,2-), B(2-,2+)或A(2-,2+), B(2+,2-)
2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知动圆过定点P(1,0),且与定直线L:x=-1相切,点C在l上.
(1)求动圆圆心的轨迹M的方程;
(i)问:△ABC能否为正三角形?若能,求点C的坐标;若不能,说明理由
(ii)当△ABC为钝角三角形时,求这种点C的纵坐标的取值范围.
解:(1)依题意,曲线M是以点P为焦点,直线l为准线的抛物线,所以曲线M的方程为y2=4x.
假设存在点C(-1,y),使△ABC为正三角形,则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|,即
因此,直线l上不存在点C,使得△ABC是正三角形.
(ii)解法一:设C(-1,y)使△ABC成钝角三角形,
,
,
∠CAB为钝角.
.
该不等式无解,所以∠ACB不可能为钝角.
因此,当△ABC为钝角三角形时,点C的纵坐标y的取值范围是:
.
解法二: 以AB为直径的圆的方程为:
.
当直线l上的C点与G重合时,∠ACB为直角,当C与G 点不重合,且A,
B,C三点不共线时, ∠ACB为锐角,即△ABC中∠ACB不可能是钝角.
因此,要使△ABC为钝角三角形,只可能是∠CAB或∠CBA为钝角.
.
.
A,B,C三点共 线,不构成三角形.
因此,当△ABC为钝角三角形时,点C的纵坐标y的取值范围是:
1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设、分别是椭圆的左、右焦点.
(Ⅰ)若P是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值;
(Ⅱ)是否存在过点A(5,0)的直线l与椭圆交于不同的两点C、D,使得|F2C|=|F2D|?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.
解:(Ⅰ)易知
设P(x,y),则
,
,即点P为椭圆短轴端点时,有最小值3;
当,即点P为椭圆长轴端点时,有最大值4
(Ⅱ)假设存在满足条件的直线l易知点A(5,0)在椭圆的外部,当直线l的斜率不存在时,直线l与椭圆无交点,所在直线l斜率存在,设为k
直线l的方程为
由方程组
依题意
当时,设交点C,CD的中点为R,
则
又|F2C|=|F2D|
∴20k2=20k2-4,而20k2=20k2-4不成立, 所以不存在直线,使得|F2C|=|F2D|
综上所述,不存在直线l,使得|F2C|=|F2D|
10.(2005天津)
已知
(Ⅰ)当时,求数列的前n项和
(Ⅱ)求。
解:(Ⅰ)当时,.这时数列的前项和
. ①
①式两边同乘以,得 ②
①式减去②式,得
若,
,
若,
(Ⅱ)由(Ⅰ),当时,,
则.
当时,
此时,.
若,.
若,.
[探索题] 已知正项数列满足 (),且
求证(1)(2)
证明:(1)将条件变形,得
于是,有
…………
将这n-1个不等式叠加,得
故
(2)注意到,于是由(1)得
,
从而,有
9. 数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足an+2-2an+1+an=0(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设bn=(n∈N*),Sn=b1+b2+…+bn,是否存在最大的整数m,使得任意的n均有Sn>总成立?若存在,求出m;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵an+2-2an+1+an=0,
∴an+2-an+1=an+1-an(n∈N*).
∴{an}是等差数列.设公差为d,
又a1=8,a4=a1+3d=8+3d=2,
∴d=-2.∴an=-2n+10.
(2)bn==
=(-),
∴Sn=b1+b2+…+bn=[(1-)+(-)+…+(-)]
=(1-)=.
假设存在整数m满足Sn>总成立.
又Sn+1-Sn=-
=>0,
∴数列{Sn}是单调递增的.
∴S1=为Sn的最小值,故<,
即m<8.又m∈N*,
∴适合条件的m的最大值为7.
8.数列的前n项和为S,且n=1,2,3….求
(I)的值及数列的通项公式;
(II)的值.
解:(I)由a1=1,,n=1,2,3,……,得
,,,
由(n≥2),得(n≥2),
又a2=,所以an=(n≥2),
∴ 数列{an}的通项公式为;
(II)由(I)可知是首项为,公比为项数为n的等比数列,∴ =
7. 设数列{an}的首项a1=a≠,且,
记,n==l,2,3,…·.
(I)求a2,a3;
(II)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论;
(III)求.
解:(I)a2=a1+=a+,a3=a2=a+;
(II)∵ a4=a3+=a+, 所以a5=a4=a+,
所以b1=a1-=a-, b2=a3-=(a-), b3=a5-=(a-),
猜想:{bn}是公比为的等比数列·
证明如下:
因为bn+1=a2n+1-=a2n-=(a2n-1-)=bn, (n∈N*)
所以{bn}是首项为a-, 公比为的等比数列·
(III).
5.
;6. 解:因为为等比数列,所以
依题意知
[解答题]
4.an=sn-sn-1=(a+b-bn)
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