14、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)已知点分别是射线,上的动点,为坐标原点,且的面积为定值2.
(I)求线段中点的轨迹的方程;
(II)过点作直线,与曲线交于不同的两点,与射线分别交于点,若点恰为线段的两个三等分点,求此时直线的方程.
解:(I)由题可设,,,其中.
则 1分
∵的面积为定值2,
∴. 2分
,消去,得:. 4分
由于,∴,所以点的轨迹方程为(x>0).
5分
(II)依题意,直线的斜率存在,设直线的方程为.
由消去得:, 6分
设点、、、的横坐标分别是、、、,
∴由得 8分
解之得:.
∴. 9分
由消去得:,
由消去得:,
∴. 10分
由于为的三等分点,∴. 11分
解之得. 12分
经检验,此时恰为的三等分点,故所求直线方程为.
12、(北京市东城区2008年高三综合练习二)已知双曲线的一条渐近线方程为,两条准线的距离为l.
(1)求双曲线的方程;
(2)直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N,点P为双曲线上异于M、N的一点,且直线PM,PN的斜率均存在,求kPM·kPN的值.
(1)解:依题意有:
可得双曲线方程为 ………………………………………………6分
(2)解:设
所以
11、(北京市东城区2008年高三综合练习一)已知定圆圆心为A,动圆M过点B(1,0)且和圆A相切,动圆的圆心M的轨迹记为C.
(I)求曲线C的方程;
(II)若点为曲线C上一点,求证:直线与曲线C有且只有一个交点.
解:(I)圆A的圆心为,
设动圆M的圆心
由|AB|=2,可知点B在圆A内,从而圆M内切于圆A,
故|MA|=r1-r2,即|MA|+|MB|=4,
所以,点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,
设椭圆方程为,由
故曲线C的方程为 …………6分
(II)当,
消去 ①
由点为曲线C上一点,
于是方程①可以化简为 解得,
综上,直线l与曲线C有且只有一个交点,且交点为.
10、(北京市崇文区2008年高三统一练习一)已知抛物线,点P(1,-1)在抛物线C上,过点P作斜率为k1、k2的两条直线,分别交抛物线C于异于点P的两点A(x1,y1),B(x2,y2),且满足k1+k2=0.
(I)求抛物线C的焦点坐标;
(II)若点M满足,求点M的轨迹方程.
解:(I)将P(1,-1)代入抛物线C的方程得a=-1,
∴抛物线C的方程为,即
焦点坐标为F(0,-).……………………………………4分
(II)设直线PA的方程为,
联立方程消去y得
则
由………………7分
同理直线PB的方程为
联立方程消去y得
则
又…………………………9分
设点M的坐标为(x,y),由
又…………………………………………11分
∴所求M的轨迹方程为:
9、(北京市朝阳区2008年高三数学一模)已知椭圆W的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,两条准线间的距离为6. 椭圆W的左焦点为,过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆W交于不同的两点、,点关于轴的对称点为.
(Ⅰ)求椭圆W的方程;
(Ⅱ)求证: ();
(Ⅲ)求面积的最大值.
解:(Ⅰ)设椭圆W的方程为,由题意可知
解得,,,
所以椭圆W的方程为.……………………………………………4分
(Ⅱ)解法1:因为左准线方程为,所以点坐标为.于是可设直线 的方程为.
得.
由直线与椭圆W交于、两点,可知
,解得.
设点,的坐标分别为,,
则,,,.
因为,,
所以,.
又因为
,
所以. ……………………………………………………………10分
解法2:因为左准线方程为,所以点坐标为.
于是可设直线的方程为,点,的坐标分别为,,
则点的坐标为,,.
由椭圆的第二定义可得
,
所以,,三点共线,即.…………………………………10分
(Ⅲ)由题意知
,
当且仅当时“=”成立,
所以面积的最大值为.
8、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)已知点R(-3,0),点P在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,点M在直线PQ上 ,且满足,.
(Ⅰ)⑴当点P在y轴上移动时,求点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设为轨迹C上两点,且,N(1,0),求实数,使,且.
解:(Ⅰ)设点M(x,y),由得P(0,),Q().
由得(3,)·(,)=0,即
又点Q在x轴的正半轴上,故点M的轨迹C的方程是.……6分
(Ⅱ)解法一:由题意可知N为抛物线C:y2=4x的焦点,且A、B为过焦点N的直线与抛物线C的两个交点。
当直线AB斜率不存在时,得A(1,2),B(1,-2),|AB|,不合题意;………7分
当直线AB斜率存在且不为0时,设,代入得
则|AB|,解得 …………………10分
代入原方程得,由于,所以,
由,得 . ……………………13分
解法二:由题设条件得
由(6)、(7)解得或,又,故.
7、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点,离心率等于.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点,交y轴于M点,若=λ1,=λ2,求证λ1+λ2为定值.
解:(I)设椭圆C的方程为,则由题意知b = 1.
∴椭圆C的方程为 …………………………………………………5分
(II)方法一:设A、B、M点的坐标分别为
易知F点的坐标为(2,0).
将A点坐标代入到椭圆方程中,得
去分母整理得 …………………………………………10分
…………………………………………………………12分
方法二:设A、B、M点的坐标分别为又易知F点的坐标为(2,0).
显然直线l存在的斜率,设直线l的斜率为k,则直线l的方程是
将直线l的方程代入到椭圆C的方程中,消去y并整理得
……………………………………7分
……………………………………8分
又
6、(江西省五校2008届高三开学联考)已知圆上的动点,点Q在NP上,点G在MP上,且满足.
(I)求点G的轨迹C的方程;
(II)过点(2,0)作直线,与曲线C交于A、B两点,O是坐标原点,设 是否存在这样的直线,使四边形OASB的对角线相等(即|OS|=|AB|)?若存在,求出直线的方程;若不存在,试说明理由.
解:(1)Q为PN的中点且GQ⊥PN
GQ为PN的中垂线|PG|=|GN|
∴|GN|+|GM|=|MP|=6,故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆,其长半轴长,半焦距,∴短半轴长b=2,∴点G的轨迹方程是 ………5分
(2)因为,所以四边形OASB为平行四边形
若存在l使得||=||,则四边形OASB为矩形
若l的斜率不存在,直线l的方程为x=2,由
矛盾,故l的斜率存在. ………7分
设l的方程为
①
② ……………9分
把①、②代入
∴存在直线使得四边形OASB的对角线相等.
5、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知线段AB过轴上一点,斜率为,两端点A,B到轴距离之差为,
(1)求以O为顶点,轴为对称轴,且过A,B两点的抛物线方程;
(2)设Q为抛物线准线上任意一点,过Q作抛物线的两条切线,切点分别为M,N,求证:直线MN过一定点;
解:(1)设抛物线方程为,AB的方程为,
联立消整理,得;∴,
又依题有,∴,∴抛物线方程为;
(2)设,,,∵,
∴的方程为;
∵过,∴,同理
∴为方程的两个根;∴;
又,∴的方程为
∴,显然直线过点
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