2.实数x,y满足不等式组则z=的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析:不等式组表示的平面区域如图所示,其中z=可看作是区域中的点(x,y)与定点M(-1,1)两点连线的斜率.M(-1,1)与N(1,0)连线的斜率为
kMN==-,过M点与直线x-y=0平行直线l的斜率为1,则-≤z<1.
答案:D
1.若直线l:y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A.[,) B.(,)
C.(,) D.[,]
解析:如右图,直线l:y=kx-,过定点P(0,-),又A(3,0),
∴kPA=,则直线PA的倾斜角为,满足条件的直线l的倾斜角的范围是.
答案: B
10.已知过原点O的一直线与函数y=log8x的图象交于A,B两点,分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C,D两点.
(1)证明:C,D和原点O在同一直线上;
(2)当BC平行于x轴时,求点A的坐标.
解答:(1)证明:设A(x1,log8x1),B(x2,log8x2)
则C(x1,log2x1),D(x2,log2x2)
由已知条件kOA=kOB,
则=,即=①
∴kOC=kOD,因此C、D、O在同一直线上.
(2)由BC∥x轴知:log2x1=log8x2,则x2=x代入①式解得:x1=,
∴A点坐标为(,log8).
9.已知两点A(-1,2),B(m,3),求:
(1)直线AB的斜率k;
(2)求直线AB的方程;
(3)已知实数m∈,求直线AB的倾斜角α的范围.
解答:(1)当m=-1时,直线AB的斜率不存在;当m≠-1时,k=.
(2)当m=-1时,AB的方程为x=-1,当m≠-1时,AB的方程为
y-2=(x+1).
(3)①当m=-1时,α=;②当m≠-1时,
∵k=∈(-∞,-]∪,∴α∈∪.
综合①②,知直线AB的倾斜角α∈.
8.已知直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求m的值,使得:
(1)l1与l2相交;(2)l1⊥l2;(3)l1∥l2;(4)l1,l2重合.
解答:(1)由已知1×3≠m(m-2),即m2-2m-3≠0,
解得m≠-1且m≠3.故当m≠-1且m≠3时,l1与l2相交.
(2)当1·(m-2)+m·3=0,即m=时,l1⊥l2.
(3)当=≠,即m=-1时,l1∥l2.
(4)当==,即m=3时,l1与l2重合.
7.若经过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为锐角,则实数a的取值范围是________.
解析:由条件知直线的斜率存在,由公式得k=,
因为倾斜角为锐角,所以k>0,解得a>1或a<-2
所以a的取值范围是{a|a>1或a<-2}.
答案:(-∞,-2)∪(1,+∞)
6.已知点A(-2,4)、B(4,2),直线l过点P(0,-2)与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是________.
解析:数形结合法.由kPA=-3,kPB=1,
如图得直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞).
答案:k≥1或k≤-3
5.若过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角α为钝角,则实数a的取值范围为 __________.
解析:k=tan α=<0,∴-2<a<1.
答案:(-2,1)
4.设直线l的方程为x+ycos θ+3=0 (θ∈R),则直线l的倾斜角α的范围是( )
A.[0,π) B.
C. D.∪
解析:当cos θ=0时,方程变为x+3=0,其倾斜角为;
当cos θ≠0时,由直线方程可得斜率k=-.
∵cos θ∈[-1,1]且cos θ≠0,∴k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
即tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞),又α∈[0,π),∴α∈∪.
由上知,倾斜角的范围是,故选C.
答案:C
3.直线l1:ax+by+c=0,直线l2:mx+ny+d=0,则=-1是直线l1⊥l2的( )
A.充要条件 B.既不充分也不必要条件
C.必要不充分条件 D.充分不必要条件
答案:D
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