10.(原创题)如图,已知定点F,定直线l:y=-,过定直线l上任意一点M作l的垂线MP,线段MF的垂直平分线与直线MP相交于P点.
(1)求P点的轨迹C的方程;(2)证明:PN与曲线C相切.
解答:(1)由已知条件知|PF|=|PM|,根据抛物线定义,P点在以F,准线为y=-的抛物线上,因此点P的轨迹方程为x2=2py.
(2)证明:设M,则kFM=-,N,kNP=,则直线NP的方程为y=,将上式代入x2=2py,整理得:x2-2x0x+x=0,则Δ=-(2x0)2-4x=0,
因此,直线PN与曲线x2=2py相切.
9.A、B分别是直线y=x和y=-x上的动点.O是坐标原点,且|OA|·|OB|=a2+b2(a,b为常数值,b≠0).求线段AB的中点P的轨迹方程.
解答:设P、A、B三点的坐标分别为(x,y)、(x1,y1)、(x2,y2),则x=,①
y=,②
y1=x1,③
y2=-x2,④
又|OA||OB|= |x1| |x2|=|x1x2|,且|OA||OB|=a2+b2,
∴|x1x2|=a2.⑤
将③④代入②得y=(x1-x2),即y=,⑥
①2-⑥2得x2-y2=x1x2,即x2-y2=±a2.∴所求轨迹方程为-=±1.
8.已知点F(0,-),P点在直线y=-4上方,且P到点F和直线y=-4的距离之和为.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)设动点P的轨迹是C,曲线C交y轴于点M,在曲线C上是否存在两点A、B,使∠AMB=.
解答:(1)解法一:如图,设P点坐标为(x,y),过P作PQ垂直于直线y=-4,垂足为Q;根据题意得|PF|+|PQ|=,即 +y+4=.整理得x2=-y(y>-4).
解法二:如图,由|PF|+|PQ|=可观察出|PF|与P点到直线y=的距离相等,则P点在以F(0,-)为焦点,O(0,0)为顶点的抛物线x2=-2py(p>0)上,∴-=-,即p=,∴x2=-y,
又点P在y=-4上方,则y>-4.
即所求点P的轨迹方程为x2=-y(y>-4).
(2)当y=-1时,x=±1,因此存在A(-1,-1),B(1,-1),使OA·OB=0,即∠AMB=.
7.已知圆C:(x-3)2+y2=4,过原点的直线与圆C相交于A、B两点,则A、B两点中点M的轨迹方程是________.
解析:如图,连接CM,则CM⊥AB,因此点M在以OC为直径的圆上,
此圆的方程为2+y2=,
将2+y2=与(x-3)2+y2=4.相减整理得x=,
因此M点的轨迹方程是2+y2=,且x>.
答案:2+y2=
6.设F1、F2是双曲线x2-y2=4的两焦点,Q是双曲线上任意一点,从F1引∠F1QF2平分线的垂线,垂足为P,则P点的轨迹方程是________.
解析:如图,延长F1P交QF2于F1′点,连结PO.则在△F1F2F1′中,
|PO|=|F2F1′|=(|QF1′|-|QF2|)=(|QF1|-|QF2|)=2,
即|PO|=2,∴P点的轨迹方程为x2+y2=4.
答案:x2+y2=4
5.两条直线ax+y+1=0和x-ay-1=0(a≠±1)的交点的轨迹方程是________.
解析:由
①×y+②×x得 y2+y+x2-x=0,即(x-)2+(y+)2=且xy≠0.
答案:(x-)2+(y+)2=,且xy≠0
4.如图,设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点,线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为( )
A.-=1 B.+=1
C.-=1 D.+=1
解析:M为AQ垂直平分线上一点,则|AM|=|MQ|,∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,∴a=,c=1,则b2=a2-c2=.椭圆的标准方程为+=1.
答案:D
3.与圆x2+y2-4x=0外切,又与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程是( )
A.y2=8x B.y2=8x(x>0)和y=0
C.y2=8x(x>0) D.y2=8x(x>0)和y=0(x<0)
解析:如图,设与y轴相切且与圆C:x2+y2-4x=0外切的圆心为P(x,y),半径为r,则=|x|+2,若x>0,则y2=8x;若x<0,则y=0.
答案:D
2.如图所示,已知两点A(-2,0)、B(1,0),动点P不在x轴上,且满足∠APO=∠BPO,其中O为坐标原点,则点P的轨迹方程是( )
A.(x+2)2+y2=4(y≠0)
B.(x+1)2+y2=1(y≠0)
C.(x-2)2+y2=4(y≠0)
D.(x-1)2+y2=1(y≠0)
解析:由∠APO=∠BPO,设P点坐标为(x,y),
则|PA|∶|PB|=|AO|∶|BO|=2,即|PA|=2|PB|,
∴ =2 整理得(x-2)2+y2=4,且y≠0.
答案:C
1.方程|x|-1= 所表示的曲线是( )
A.一个圆 B.两个圆 C.半个圆 D.两个半圆
解析:|x|-1= ⇔⇔
⇔⇔
或
则方程|x|-1=所表示的曲线如图所示.
答案:D
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com