8.过点P(2,1)作直线l交x,y轴正半轴于A,B两点,当PA·PB=4时,求直线l的方程.
解答:设直线l:y-1=k(x-2),k≠0.
分别令y=0和x=0,得A,B(0,1-2k),
∴PA·PB= = =4,所以,k2=1,即k=±1.
又由题意,可知k<0,∴k=-1,这时直线l的方程是x+y-3=0.
7.已知两点A(0,1),B(1,0),若直线y=k(x+1)与线段AB总有公共点,则k的取值范围是__________.
解析:y=k(x+1)是过定点P(-1,0)的直线,kPB=0,kPA==1.
∴k的取值范围是[0,1].
答案:[0,1]
6.过点(2,3),且在坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有________.
解析:过(2,3)点斜率为1的一条;过(2,3)点斜率为-1的一条;过(2,3)点和原点的一条,因此共3条.
答案:3条
5.直线y=x关于直线x=1对称的直线方程是________.
解析:在所求直线上任取一点坐标为(x,y),则关于直线x=1对称点的坐标是(x0,y0),则
∴y0=x0,即y=(2-x),
整理得:x+2y-2=0.(也可以用点斜式求解)
答案:x+2y-2=0
4.点A(a+b,ab)在第一象限内,则直线bx+ay-ab=0不经过的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:由已知得即a>0,b>0.由bx+ay-ab=0知y=-x+b.
∴该直线的斜率k<0且在y轴上的截距b>0,故该直线一定不经过第三象限.
答案:C
3.已知动点P(x,y),若lg y,lg |x|,lg成等差数列,则点P的轨迹图形是( )
解析:由已知设:lg y+lg =2lg|x|⇒y(y-x)=2x2⇒(x+y)(2x-y)=0
⇒x=-y或x=y(x≠0,y>0,y>x).
答案:C
2.经过点P(2,-1),且在y轴上的截距等于它在x轴上的截距的2倍的直线l的方程( )
A.2x+y=2 B.2x+y=4
C.2x+y=3 D.2x+y=3或x+2y=0
解析:当截距不等于零时,设l的方程+=1,点P在l上,∴-=1,
则a=.∴l的方程为2x+y=3.当截距等于零时,设l的方程为y=kx,
又点P在l上,∴k=-.∴x+2y=0.
答案:D
1.下列四个命题:①经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示;②经过任意两个不同的点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(x2-x1)(x-x1)=(y2-y1)(y-y1)表示;③不经过原点的直线都可以用方程+=1表示;④经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示.其中真命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:对命题①④,方程不能表示倾斜角是90°的直线,对命题③,当直线平行于一条坐标轴时,则直线在该坐标轴上截距不存在,故不能用截距式表示直线.只有②正确.
答案:B
2.如图,设抛物线C:y=x2的焦点为F,动点P在直线l:x-y-2=0上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.
(1)求△APB的重心G的轨迹方程;(2)证明∠PFA=∠PFB.
解答:设切点A、B的坐标分别为(x1,x),(x2,x).
(1)由y=x2知焦点为F(0,),y′=2x,
则PA,PB的方程分别为2x1x-y-x=0,2x2x-y-x=0,
解方程组得即P(,x1x2),∴-x1x2-2=0①
设G(x,y),则x==②
y==③
由①②③消去x1、x2得y=;
(2)证明:kAF=,kFP=,tan∠PFA==,
同理可求tan∠PFB=,∴∠PFA=∠PFB.
可检验x1=0,或x1+x2=0时,∠PFA=∠PFB.
1.设A1、A2是椭圆+=1长轴的两个端点,P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点,则直线A1P1与A2P2交点M的轨迹方程为( )
A.+=1 B.+=1 C.-=1 D.-=1
解析:如图,设M、P1、P2点坐标分别为(x,y)、(x0,y0)、(x0,-y0),则+=1,即=-.
直线A1P1的方程为y=(x+3)①
直线A2P2的方程为y=(x-3)②
①×②得y2=(x2-9)=(x2-9),整理得-=1.
答案:C
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