3.(2009·合肥调研)过点A(1,-1)、B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( )
A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4
C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4
答案:C
2.点P从(1,0)出发,沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动到达Q点,则Q的坐标为( )
A.(-,) B.(-,-) C.(-,-) D.(-,)
解析:由题意知∠POQ=,∴Q点为(-,).
答案:A
1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形,则( )
A.D+E=0 B.D+F=0 C.E+F=0 D.D+E+F=0
答案:A
2.已知三条直线l1:mx-y+m=0,l2:x+my-m(m+1)=0,l3:(m+1)x-y+(m+1)=0,它们围成△ABC.
(1)求证:不论m取何值时,△ABC中总有一个顶点为定点;
(2)当m取何值时,△ABC的面积取最大值、最小值?并求出最大值、最小值.
解答:(1)证明:设直线l1与直线l3的交点为A,
由
得x=-1,y=0,∴A点坐标为(-1,0),∴不论m取何值△ABC中总有一个顶点A(-1,0)为定点.
(2)由
得x=0,y=m+1,即l2与l3交点为(0,m+1),
由
得x=,y=,即l1与l2交点为(,),
∴S△ABC=··
==(2-)
∵m2+1≥1,∴1≤2-<2,∴≤(2-)<1即≤S△ABC<1,
∴当m=0时S△ABC取到最小值,S△ABC取不到最大值.
1.k为何值时,直线l1:y=kx+3k-2与直线l2:x+4y-4=0的交点在第一象限.
解答:由,得
∵两直线的交点在第一象限,
∴,∴<k<1.
即当<k<1时,两直线的交点在第一象限.
10.已知直线l过P(3,-2)点,求:
(1)原点到直线l距离最大的l的方程;
(2)原点到直线l距离为3的l的方程.
解答:(1)∵kOP=-,∴直线l的斜率为k=-=.
则直线l的方程为y+2=(x-3),即3x-2y-13=0.
(2)设所求直线的方程为y+2=k(x-3),即kx-y-3k-2=0.
由=3,解得k=,则l的方程为5x-12y-39=0,
又斜率不存在时的直线方程x=3符合题意,
因此直线l的方程为x=3或5x-12y-39=0.
9.在直角梯形OABC中,OA∥BC,OA⊥OC,在OA、BC边上分别有两点P、Q,若PQ平分梯形的面积,求证:直线PQ必过一定点.
证明:如图所示,以OA所在直线为x轴,O为原点,建立坐标系
设A、B、P、Q的坐标分别为(a,0)、(b,c)、(t1,0)、(t2,c),
∴直线PQ的方程为:y=(x-t1).
由PQ平分梯形ABCO的面积,∴2S梯形PQCO=S梯形ABCO.
即2·=,∴t1+t2=,即t2=-t1.
直线PQ的方程为y=(x-t1),
整理得:2cx-(a+b-4t1)y-2ct1=0
即(4y-2c)t1+2cx-(a+b)y=0,∴y=,x=.
因此直线PQ必过定点(,).
8.求过点P(1,2)且与A(2,3)和B(4,-5)等距离的直线方程.
解答:解法一:所求直线有两条,一条是过P(1,2)点且过AB的中点,另一条是过P(1,2)与A、B两点所确定的直线平行.
AB的中点M的坐标为(3,-1),∴过P、M两点的直线方程为y-2=(x-1),
整理得3x+2y-7=0;
过P点与AB平行的直线为y-2=(x-1),
整理得4x+y-6=0;
因此所求的直线方程为3x+2y-7=0,或4x+y-6=0.
解法二:设所求的直线方程为y-2=k(x-1),
即kx-y+2-k=0,
根据题意:=,
即|k-1|=|3k+7|,解得:k=-4或k=-.
因此所求的直线方程分别为4x+y-6=0或3x+2y-7=0.
7.在△ABC中,BC边上的高所在直线方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在的直线为y=0,点B(1,2),则点A和点C的坐标分别是________.
解析:由得顶点A(-1,0),kAB=1,
∴kAC=-1,∴AC方程为y=-x-1.①
又BC方程y=-2x+4,②
解①和②得C(5,-6).
答案:(-1,0),(5,-6)
6.过直线l1:x-2y+3=0与l2:2x+3y-8=0的交点,且到点P(0,4)的距离为2的直线方程为________________.
答案:y=2或4x-3y+2=0
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