1.一直线经过点P(-3,-)被圆x2+y2=25截得的弦长为8,求此弦所在直线方程.
解答: (1)当斜率k不存在时,过点P的直线方程为x=-3,代入x2+y2=25,得y1=4,y2=-4.
∴弦长为|y1-y2|=8,符合题意.
(2)当斜率k存在时,设所求直线方程为y+=k(x+3),即kx-y+3k-=0.
由已知,弦心距|OM|= =3,∴=3,解得k=-.
所以此直线方程为y+=-(x+3),即3x+4y+15=0.
所以所求直线方程为x+3=0或3x+4y+15=0.
10.如右图所示,已知圆C1:x2+y2-2mx-2ny+m2-1=0和圆
C2:x2+y2+2x+2y-2=0交于
A、B两点且这两点平分圆C2的圆周.求圆C1的圆心C1的轨迹方程,并求出当圆C1的半径最小时圆C1的方程.
解答:圆C1:(x-m)2+(y-n)2=n2+1,圆C2:(x+1)2+(y+1)2=4,而C1C2⊥AB且AB为圆C2直径.
∴|AC2|=rc2=2,又|AC1|2=rc12=1+n2,|AC2|2=4,|C1C2|2=(m+1)2+(n+1)2.
在Rt△AC2C1中,由勾股定理,得4+(m+1)2+(n+1)2=1+n2,∴(m+1)2=-2(n+2)即为点C1的轨迹方程.
又-2(n+2)≥0,n≤-2,当n=-2时,m=-1,
rc1min=,此时圆C1的方程为(x+1)2+(y+2)2=5.
★选做题
9.如右图,已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0).
求动点M的轨迹方程,说明它表示什么曲线.
解答:如右图,设M(x,y),MN切圆于N,则=λ,即|MN|=λ|MQ|.又|MN|2=|MO|2-1=x2+y2-1,∴|MN|=,又|MQ|=,∴=λ整理得 (λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+(1+4λ2)=0,即为所求的轨迹方程.当λ=1时,方程化为x=,表示一条直线;当λ≠1时,方程化为(x-)2+y2=,它表示圆,圆心为(,0),半径为.
8.过圆x2+y2=r2(r>0)外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为M、N,证明直线MN的方程是x0x+y0y=r2.
证明:证法一:设M、N的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).∵M、N在圆x2+y2=r2上,
∴过M、N的切线方程分别是:x1x+y1y=r2,x2x+y2y=r2,又P是两切线公共点,即有:x1x0+y1y0=r2,x2x0+y2y0=r2,上两式表明点M(x1,y1),N(x2,y2)都在二元一次方程x0x+y0y=r2表示的直线上.所以直线MN的方程是x0x+y0y=r2.
证法二:以OP为直径的圆的方程为:(x-x0)2+(y-y0)2=(x+y),即x2+y2-x0x-y0y=0,又圆的方程是x2+y2=r2,两式相减得x0x+y0y=r2,这便是过切点M、N的直线方程.
7.过直线y=4上任一点作圆x2+y2=4的切线,则切线长的最小值为________.
答案:2
6.如果曲线C:(θ为参数)与直线x+y+a=0有公共点,那么实数a的取值范围是______.
答案:1-≤a≤1+
5.若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点,则k的取值范围是______.
解析:利用数形结合法解.
答案:k=-或k∈(-1,1]
4.若直线2x-y+C=0按向量a=(1,-1)平移后与圆x2+y2=5相切,则C的值为( )
A.8或-2 B.6或-4 C.4或-6 D.2或-8
答案: A
3.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:圆的圆心(-1,-2),半径R=2,而圆心到直线x+y+1=0的距离为.
答案:C
2.圆心在抛物线y2=2x上且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是( )
A.x2+y2-x-2y-=0 B.x2+y2+x-2y+1=0
C.x2+y2-x-2y+1=0 D.x2+y2-x-2y+=0
解析:设圆心坐标为(,a),依题意有+=|a|,得圆心为(,±1).
答案:D
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