7.倾斜角为的直线交椭圆+y2=1于A、B两点,则线段AB的中点M的轨迹方程是________.
解析:设M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则有+y=1,①
+y=1,②
①-②得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0.③
又直线AB的斜率k=tan==1,∴y1-y2=x1-x2.④
由中点坐标公式得=x,=y,
即x1+x2=2x,y1+y2=2y.⑤
把④⑤代入到③中得x=-4y,∴直线方程为x+4y=0,
由 得x2=.∴x1=-,x2=.
∴点M的轨迹方程为x+4y=0(-<x<).
答案:x+4y=0(-<x<)
6.直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A、B不同两点,且AB的中点横坐标为2,则k的 值是________.
解析:设A(x1,y1)、B(x2,y2),由消去y得k2x2-4(k+2)x+4=0,
由题意得∴即k=2.
答案: 2
5.直线y=kx+1与椭圆+=1恒有公共点,则m的取值范围是______.
解析:∵方程+=1表示椭圆,∴m>0且m≠5.∵直线y=kx+1恒过(0,1)点,
∴要使直线与椭圆总有公共点,应有:+≤1,m≥1,∴m的取值范围是m≥1且m≠5.
答案: m≥1且m≠5
4.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A、B两点,则|AB|的最大值为( )
A.2 B. C. D.
解析:设椭圆截直线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0.则有x1+x2=-t,x1x2=.
∴|AB|= |x1-x2|=·= ,
当t=0时,|AB|max=.
答案:C
3.已知椭圆C的方程为+=1(m>0),如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F,则m的值为( )
A.2 B.2 C.8 D.2
解析:根据已知条件c=,则点(, )在椭圆+=1(m>0)上,
∴+=1可得m=2.
答案:B
2.直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k的值为( )
A.1 B.1或3 C.0 D.1或0
解析:由得ky2-8y+16=0,若k=0,则y=2,若k≠0,则Δ=0,即64-64k=0解得k=1,因此直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k=0或k=1.
答案:D
1.AB为过椭圆+=1中心的弦,F(c,0)为它的焦点,则△FAB的最大面积为( )
A.b2 B.ab C.ac D.bc
解析:设A、B两点的坐标为(x1,y1)、(-x1,-y1),则S△FAB=|OF||2y1|=c|y1|≤bc.
答案:D
2.已知抛物线y2=-x与直线l:y=k(x+1)相交于A、B两点.
(1)求证:OA⊥OB;(2)当△AOB的面积等于时,求k的值.
解答:(1)证明:由y2=-x,y=k(x+1)得ky2+y-k=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
因此x1x2+y1y2=y·y·y1y2=0,所以OA·OB=0,OA⊥OB.
(2)由|OA||OB|= ,|OA|2|OB|2=40,
(y+y)(y+y)=40,化简得y+y=38,
由(y1+y2)2-2y1y2=38,=36,解得k=±.
1.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且|AK|=|AF|,则△AFK的面积为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
解析:∵抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线为x=-2,∴K(-2,0).
如图,设A(x0,y0),过A点向准线作垂线AB,则B(-2,y0).
∵|AK|=|AF|,又AF=AB=x0-(-2)=x0+2,
∴由BK2=AK2-AB2得y=(x0+2)2,即8x0=(x0+2)2,
解得A(2,±4),∴△AFK的面积为|KF|·|y0|=×4×4=8,
故选B.
答案:B
10.在平面坐标系xOy中,抛物线y=x2上异于坐标原点O的两个不同动点A、B满足AO⊥BO,
(1)求△AOB的重心G的轨迹方程;
(2)△AOB的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
解答:(1)设直线OA,OB的方程分别为y=kx,和y=-x.
由得x2-kx=0,则x=0,或x=k.∴A(k,k2),同理B(-,).
设G(x,y),则x=,y==.
消去k得y=,即y=.故△AOB的重心G的轨迹方程为y=.
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