7．倾斜角为的直线交椭圆+y²＝1于A、B两点，则线段AB的中点M的轨迹方程是________．

　 解析：设M(x，y)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则有+y＝1，①

　 +y＝1，②

　 ①－②得(x₁+x₂)(x₁－x₂)+(y₁+y₂)(y₁－y₂)＝0.③

　 又直线AB的斜率k＝tan＝＝1，∴y₁－y₂＝x₁－x₂.④

　 由中点坐标公式得＝x，＝y，

　 即x₁+x₂＝2x，y₁+y₂＝2y.⑤

　 把④⑤代入到③中得x＝－4y，∴直线方程为x+4y＝0，

　 由　得x²＝.∴x₁＝－，x₂＝.

　 ∴点M的轨迹方程为x+4y＝0(－<x<)．

　 答案：x+4y＝0(－<x<)

6．直线y＝kx－2与抛物线y²＝8x交于A、B不同两点，且AB的中点横坐标为2，则k的　　　　 值是________．　

　 解析：设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，由消去y得k²x²－4(k+2)x+4＝0，

　 由题意得∴即k＝2.

　 答案： 2

5．直线y＝kx+1与椭圆+＝1恒有公共点，则m的取值范围是______．

　 解析：∵方程+＝1表示椭圆，∴m>0且m≠5.∵直线y＝kx+1恒过(0,1)点，

　 ∴要使直线与椭圆总有公共点，应有：+≤1，m≥1，∴m的取值范围是m≥1且m≠5.

　 答案： m≥1且m≠5

4．斜率为1的直线l与椭圆+y²＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为(　)

　 A．2　 　　　　　　　　　　　　　 B.　 　　　　　　　　　　　 C.　 　　　　　　　 D.

　 解析：设椭圆截直线于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)两点，由消去y，得5x²+8tx+4(t²－1)＝0.则有x₁+x₂＝－t，x₁x₂＝.

　 ∴|AB|＝ |x₁－x₂|＝·＝ ，

　 当t＝0时，|AB|_max＝.

　 答案：C

3．已知椭圆C的方程为+＝1(m>0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为(　)

　 A．2　 　　　　　　　　　　　　　 B．2　 　　　　　　　 C．8　 　　　　　　　　　 D．2

　 解析：根据已知条件c＝，则点(， )在椭圆+＝1(m>0)上，

　 ∴+＝1可得m＝2.

　 答案：B

2．直线y＝kx+2与抛物线y²＝8x有且只有一个公共点，则k的值为(　)

　 A．1　 B．1或3　 C．0　 D．1或0

　 解析：由得ky²－8y+16＝0，若k＝0，则y＝2，若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0解得k＝1，因此直线y＝kx+2与抛物线y²＝8x有且只有一个公共点，则k＝0或k＝1.

　 答案：D

1．AB为过椭圆+＝1中心的弦，F(c,0)为它的焦点，则△FAB的最大面积为(　)

　 A．b²　 　　　　　　　 B．ab　 　　　　　　 C．ac　 　　　　　　 D．bc

　 解析：设A、B两点的坐标为(x₁，y₁)、(－x₁，－y₁)，则S_△FAB＝|OF||2y₁|＝c|y₁|≤bc.

　 答案：D

2．已知抛物线y²＝－x与直线l：y＝k(x+1)相交于A、B两点．

　 (1)求证：OA⊥OB；(2)当△AOB的面积等于时，求k的值．

　 解答：(1)证明：由y²＝－x，y＝k(x+1)得ky²+y－k＝0，

　 设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则

　 因此x₁x₂+y₁y₂＝y·y·y₁y₂＝0，所以OA·OB＝0，OA⊥OB.

　 (2)由|OA||OB|＝ ，|OA|²|OB|²＝40，

　 (y+y)(y+y)＝40，化简得y+y＝38，

　 由(y₁+y₂)²－2y₁y₂＝38，＝36，解得k＝±.　

1．已知抛物线C：y²＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为(　)

　 A．4　 B．8　 C．16　 D．32

　 解析：∵抛物线C：y²＝8x的焦点为F(2,0)，准线为x＝－2，∴K(－2,0)．

　 如图，设A(x₀，y₀)，过A点向准线作垂线AB，则B(－2，y₀)．

　 ∵|AK|＝|AF|，又AF＝AB＝x₀－(－2)＝x₀+2，

　 ∴由BK²＝AK²－AB²得y＝(x₀+2)²，即8x₀＝(x₀+2)²，

　 解得A(2，±4)，∴△AFK的面积为|KF|·|y₀|＝×4×4＝8，

　 故选B.

　 答案：B

10．在平面坐标系xOy中，抛物线y＝x²上异于坐标原点O的两个不同动点A、B满足AO⊥BO，

　 (1)求△AOB的重心G的轨迹方程；

　 (2)△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

　 解答：(1)设直线OA，OB的方程分别为y＝kx，和y＝－x.

　 由得x²－kx＝0，则x＝0，或x＝k.∴A(k，k²)，同理B(－，)．

　 设G(x，y)，则x＝，y＝＝.

　 消去k得y＝，即y＝.故△AOB的重心G的轨迹方程为y＝.