1.设A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},集合A中的元素x按照对应法则“乘2加1”和集合B中的元素2x+1对应.这个对应是不是映射?(是)
例1 判断下列对应是否映射?有没有对应法则?
a e a e a e
b f b f b f
c g c g c g
d d
(是) (不是) (是)
是映射的有对应法则,对应法则是用图形表示出来的
例2下列各组映射是否同一映射?
a e a e d e
b f b f b f
c g c g c g
例3判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射?
(1)设A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},
对应法则
(2)设,对应法则
(3),,
(4)设
(5),
设A,B分别是两个集合,为简明起见,设A,B分别是两个有限集
说明:(2)(3)(4)这三个对应的共同特点是:对于左边集合A中
的任何一个元素,在右边集合B中都有唯一的元素和它对应
映射:设A,B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合
A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,
这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫
做集合A到集合B的映射 记作:
象、原象:给定一个集合A到集合B的映射,且,如
果元素和元素对应,则元素叫做元素的象,元素叫
做元素的原象
关键字词:(学生思考、讨论、回答,教师整理、强调)
①“A到B”:映射是有方向的,A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射,A到B是求平方,B到A则是开平方,因此映射是有序的;
②“任一”:就是说对集合A中任何一个元素,集合B中都有元素和它对应,这是映射的存在性;
③“唯一”:对于集合A中的任何一个元素,集合B中都是唯一的元素和它对应,这是映射的唯一性;
④“在集合B中”:也就是说A中元素的象必在集合B中,这是映射的封闭性.
指出:根据定义,(2)(3)(4)这三个对应都是集合A到集合B
的映射;注意到其中(2)(4)是一对一,(3)是多对一
思考:(1)为什么不是集合A到集合B的映射?
回答:对于(1),在集合A中的每一个元素,在集合B中都
有两个元素与之相对应,因此,(1)不是集合A到集
合B的映射
思考:如果从对应来说,什么样的对应才是一个映射?
一对一,多对一是映射但一对多显然不是映射
辨析:
①任意性:映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等;
②有序性:映射是有方向的,A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射;
③存在性:映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象;
④唯一性:映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的;
⑤封闭性:映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素,不要求B中的每一个元素都有原象,即A中元素的象集是B的子集.
映射三要素:集合A、B以及对应法则,缺一不可;
函数的概念
本节我们将学习一种特殊的对应-映射.
在初中我们已学过一些对应的例子:(学生思考、讨论、回答)
①看电影时,电影票与座位之间存在者一一对应的关系
②对任意实数a,数轴上都有唯一的一点A与此相对应
③坐标平面内任意一点A 都有唯一的有序数对(x, y)和它对应
④任意一个三角形,都有唯一的确定的面积与此相对应
2.如图,设抛物线方程为x2=2py(p>0),M为直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.
(1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;
(2)已知当M点的坐标为(2,-2p)时,|AB|=4.求此时抛物线的方程;
解答:(1)证明:由题意设A(x1,),B(x2,),x1<x2,M(x0,-2p).
由x2=2py得y=,得y′=,所以kMA=,kMB=.
因此直线MA的方程为y+2p=(x-x0),直线MB的方程为y+2p=(x-x0).
所以+2p=(x1-x0),①
+2p(x2-x0).②
由①、②得=x1+x2-x0,因此x0=,即2x0=x1+x2.
所以A,M,B三点的横坐标成等差数列.
(2)由(1)知,当x0=2时,将其代入①、②并整理得:x-4x1-4p2=0,x-4x2-4p2=0,
所以x1,x2是方程x2-4x-4p2=0的两根,因此x1+x2=4,x1x2=-4p2,
又kAB===,所以kAB=.
由弦长公式得|AB|== .
又|AB|=4,所以p=1或p=2,因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y.
1.A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB(O为坐标原点).求证:
(1)A,B的横坐标之积为定值;(2)直线AB经过一定点.
证明:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y=2px1,y=2px2,
又∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,∵y·y=4p2x1x2,
将y1y2=-x1x2代入,得xx=4p2x1x2,得知,x1x2≠0,
∴x1x2=4p2,故A,B两点横坐标之积为定值4p2.
(2)∵y-y=(y2+y1)(y2-y1)=2p(x2-x1),x1≠x2.∴=,
∴直线AB的方程为y-y1=(x-x1),
又由x1=,得y=x+y1-·=x+,
由(1)y1y2=-x1x2=-4p2代入,可得y=x-=(x-2p),
所以直线AB过定点(2p,0).
10.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个焦点为F,M为椭圆上的任意一点,|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2,椭圆上存在着以y=x为对称轴的点M1和M2,且|M1M2|=,求椭圆方程.
解答:设所求椭圆的方程为+=1(a>b>0),
M1、M2两点的坐标分别为(x1,y1)、(y1,x1),x1>0,则(a+c)(a-c)=4,即b2=4,且+=1,①
+=1,②
①-②得+=0,
∵x1≠y1,∴(-)(x1+y1)=0,∴y1=-x1,|M1M2|==2x1.
又|M1M2|=,∴x1=.
∴M1点的坐标为(,-)代入方程+=1得+=1,解得a2=5.
因此所求椭圆的方程为+=1.
★ 选做题
9.过抛物线焦点F的直线交抛物线于P、Q两点,PQ的垂直平分线交抛物线的对称轴于R点,求证:|FR|=|PQ|.
证明:证法一:如图设抛物线方程为y2=2px,p>0则直线PQ的方程为y=k(x-),k≠0,设P、Q两点的坐标为(x1,y1),(x2,y2)
由得k2x2-p(k2+2)x+=0,
∴Δ=p2(k2+2)2-4k2=4p2k2+4p2.
且x1+x2=,x1x2=,|PQ|=|x1-x2|=.
由=,得=k(-)=k=.
∴直线PQ垂直平分线的方程为y-=-,
令y=0,得x=p+,∴|FR|=-=.
因此|FR|=|PQ|.
证法二:设P、Q两点坐标为(,y1)、(,y2),由直线PQ过F点可证y1y2=-p2,|PQ|= =,直线PQ的斜率为=.
∴直线PQ垂直平分线方程为y-=-(x-),
令y=0,得x=p+,∴|FR|=(p+)-
==,则|FR|=|PQ|.
证法三:如上图,PQ的中点为M,过P、Q、M分别作PP′、MM′、QQ′垂直于抛物线的准线x=-,连结M′F、M′P,由抛物线的定义得
|MM′|=(|PP′|+|QQ′|)=(|PF|+|QF|)=|PQ|=|MP|,∴∠M′PM=∠PM′M=∠P′PM′.
又|PP′|=|PF|,PM′为△PM′P′与△PM′F的公共边,∴△PM′P′≌△PM′F,则M′F⊥PQ.
又MR⊥PQ,∵M′F∥MR,又MM′∥FR,∴四边形FRMM′为平行四边形.
∴|FR|=|MM′|=|PQ|.
8.已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=,求椭圆方程.
解答:设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n),设P(x1,y1),Q(x2,y2).
由消去y,整理得(m+n)x2+2nx+n-1=0,Δ=4n2-4(m+n)(n-1)>0,
即m+n-mn>0,OP⊥OQ等价于x1x2+y1y2=0,
将y1=x1+1,y2=x2+1代入,整理得2x1x2+(x1+x2)+1=0,
∴-+1=0⇒m+n=2,①
由弦长公式,得2·=()2,将m+n=2代入,得mn=.②
解①②得或
显然满足Δ>0,故所求椭圆的方程为+=1或+=1.
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