7.如图,正三棱锥S-ABC中,侧面SAB与底面ABC所成的
二面角等于α,动点P在侧面SAB内,PQ⊥底面ABC,垂
足为Q,PQ=PS·sinα,则动点P的轨迹为 ( )
A.线段 B.圆
C.一段圆弧 D.一段线段
6.已知函数的单调递增区间为 ( )
A.(0,1) B.(-2,1)
C.(0,) D.(,1)
5.设数列满足,且对任意的,点都有,则的前项和为( )
A. B. C. D.
4.在展开式中,的系数分别为,如果=3,那么的值为 ( )
A.70 B.60 C.55 D.40
3.在100个零件中,有一级品20个,二级品30个,三级品50个,从中抽取20个作为样本.
① 采用随机抽样法:抽签取出20个样本;
② 采用系统抽样法:将零件编号为00,01,…,99,然后平均分组抽取20个样本;
③ 采用分层抽样法:从一级品,二级品,三级品中抽取20个样本.
下列说法中正确的是 ( )
A. 无论采用哪种方法,这100个零件中每一个被抽到的概率都相等
B. ①②两种抽样方法,这100个零件中每一个被抽到的概率都相等;③并非如此
C. ①③两种抽样方法,这100个零件中每一个被抽到的概率都相等;②并非如此
D. 采用不同的抽样方法, 这100个零件中每一个零件被抽到的概率是各不相同的
2.是函数在处连续的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
1.已知集合则满足的集合的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D. 4
(15)(本小题共13分)
解:(Ⅰ)∵(),
∴(). ……………………………1分
∵,,成等差数列,
∴. ………………………………………3分
∴. ………………………………………5分
∴. ……………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
().
∴数列为首项是,公差为1的等差数列. …………………………8分
∴.
∴. ………………………………………10分
当时,. ………………………………12分
当时,上式也成立. …………………………13分
∴().
(16)(本小题共13分)
解:(Ⅰ)该间教室两次检测中,空气质量均为A级的概率为.………………………………2分
该间教室两次检测中,空气质量一次为A级,另一次为B级的概率为.
………………………………4分
设“该间教室的空气质量合格”为事件E.则 ………………………………5分
. …………………………………6分
答:估计该间教室的空气质量合格的概率为.
(Ⅱ)由题意可知,的取值为0,1,2,3,4. …………………………………7分
.
随机变量的分布列为:
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
…………………………………12分
解法一:
∴. ………………………13分
解法二:,
∴. …………………………………13分
(17)(本小题共14分)
(Ⅰ)证明:设的中点为.
在斜三棱柱中,点在底面上的射影恰好是的中点,
平面ABC. ……………………1分
平面,
. ……………………2分
,
∴.
,
∴平面. ……………4分
平面,
平面平面. ………………………………………5分
解法一:(Ⅱ)连接,平面,
是直线在平面上的射影. …………………………5分
,
四边形是菱形.
. …………………………………7分
. ………………………………………9分
(Ⅲ)过点作交于点,连接.
,
平面.
.
是二面角的平面角. ……11分
设,则,
.
.
.
.
平面,平面,
.
.
在中,可求.
∵,∴.
∴.
. ………………………13分
.
∴二面角的大小为. …………………………………14分
解法二:(Ⅱ)因为点在底面上的射影是的中点,设的中点为,则平面ABC.以为原点,过平行于的直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设,由题意可知,.
设,由,得
………………………………………7分
.
又.
.
. ……………………………………9分
(Ⅲ)设平面的法向量为.
则
∴
.
设平面的法向量为.则
∴
. ………………………………………12分
. ………………………………………13分
二面角的大小为. ………………………………………14分
(18)(本小题共13分)
解:(Ⅰ)函数的定义域为. …………………………………1分
. ………………………………3分
由,解得.
由,解得且.
∴的单调递增区间为,单调递减区间为,.
…………………6分
(Ⅱ)由题意可知,,且在上的最小值小于等于时,存在实数,使得不等式成立. ………………………………………7分
若即时,
x |
|
a+1 |
|
|
- |
0 |
+ |
|
↘ |
极小值 |
↗ |
∴在上的最小值为.
则,得. …………………………………10分
若即时,在上单调递减,则在上的最小值为.
由得(舍). ………………………………………12分
综上所述,. ………………………………………13分
(19)(本小题共13分)
解:(Ⅰ)由抛物线C:得抛物线的焦点坐标为,设直线的方程为:,. ………………………………………1分
由得.
所以,.因为, …………………………………3分
所以.
所以.即.
所以直线的方程为:或. ………………………………………5分
(Ⅱ)设,,则.
由得.
因为,所以,. ……………………………………7分
(ⅰ)设,则.
由题意知:∥,.
即.
显然 ………………………………………9分
(ⅱ)由题意知:为等腰直角三角形,,即,即.
. .
.,. ………………………………………11分
.
即的取值范围是. ………………………………………13分
(20)(本小题共14分)
解:(Ⅰ)取,得,即.
因为,所以. ………………………………………1分
取,得.因为,所以.
取,得,所以.
………………………………………3分
(Ⅱ)在中取得.
所以.
在中取,得.
在中取,
得.
所以.
在中取,
得.
所以.
在中取,
得
.
所以对任意实数均成立.
所以. ………………………………………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,
在中,
取,得,即 ①
取,得 ②
取,得,即 ③
②+①得,②+③得.
.
将代入①得.
将代入②得.
.
由(Ⅱ)知,所以对一切实数成立.
故当时,对一切实数成立.
存在常数,使得不等式对一切实数成立,且为满足题设的唯一一组值. ………………………………………14分
说明:其它正确解法按相应步骤给分.
(9)62 (10)2 (11) (12)2,
(13) (14),③④
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