18.甲、乙两小船质量均为M=120 kg,静止于水面上,甲船上的人质量m=60 kg,通过一根长为L=10 m的绳用F=120 N的水平力拉乙船,求:
(1)两船相遇时,两船分别走了多少距离.
(2)为防止两船相撞,人至少以多大的速度由甲船跳上乙船.(忽略水的阻力)
解析:(1)甲船和人与乙船组成的系统动量时刻守恒.
由平均动量守恒得:(M+m)s甲=Ms乙
又s甲+s乙=L
以上两式联立可求得:s甲=4 m,s乙=6 m.
(2)设两船相遇时甲船的速度为v1,对甲船和人用动能定理得:Fs甲=(M+m)v
因系统总动量为零,所以人跳离甲到乙后,甲船速度为零时,人跳离速度最小.设人跳离的速度为v,因跳离时,甲船和人组成的系统动量守恒,有:(M+m)v1=0+mv可求出:v=4 m/s.
答案:(1)s甲=4 m s乙=6 m (2)4 m/s
图28
17.一火箭喷气发动机每次喷出m=200 g的气体,气体离开发动机时相对地的速度v=1000 m/s,设火箭质量M=300 kg,发动机每秒喷气20次,求:
(1)当第三次气体喷出后,火箭的速度多大?
(2)运动第1 s末,火箭的速度多大?
解析:解法1:喷出气体运动方向与火箭运动方向相反,系统动量可认为守恒.
(1)第一次气体喷出后,火箭速度为v1,有:
(M-m)v1-mv=0
故v1=
第二次气体喷出后,火箭速度为v2,有:
(M-2m)v2-mv=(M-m)v1
故v2=
第三次气体喷出后,火箭速度为v3,有:
(M-3m)v3-mv=(M-2m)v2
v3== m/s=2 m/s
(2)依次类推,第n次气体喷出后,火箭速度为vn,有:
(M-nm)vn-mv=[M-(n-1)m]vn-1
vn=
因为每秒喷气20次,所以1 s末火箭速度为:
v20== m/s=13.5 m/s.
解法2:由于每次喷气速度一样,可选整体为研究对象,运用动量守恒来求解.
(1)设喷出三次气体后火箭的速度为v3,以火箭和喷出的三次气体为研究对象,据动量守恒可得:
(M-3m)v3-3mv=0
v3==2 m/s.
(2)以火箭和喷出的20次气体为研究对象
(M-20m)v20-20mv=0
得v20==13.5 m/s.
答案:(1)2 m/s (2)13.5 m/s
16.如图27所示,细线上端固定于O点,其下端系一小球,静止时细线长L.现将悬线和小球拉至图中实线位置,此时悬线与竖直方向的夹角θ=60°,并于小球原来所在的最低点处放置一质量相同的泥球,然后使悬挂的小球从实线位置由静止释放,它运动到最低点时与泥球碰撞并合为一体,它们一起摆动中可达到的最大高度是( )
A. B.
C. D.
解析:设小球与泥球碰前的速度为v1,碰后的速度为v2,
小球下落过程中,有mgL(1-cos60°)=
在碰撞过程中有mv1=(m+M)v2
上升过程中有(m+M)gh=
由以上各式解得h=.
答案:C
15.A、B两球在光滑水平面上沿同一直线,向同一方向运动,A球动量为pA=5 kg·m/s,B球动量为pB=7 kg·m/s,两球碰后B球动量变为pB′=10 kg·m/s,则两球质量关系可能是( )
A.mA=mB B.mA=2mB
C.mB=4mA D.mB=6mA
解析:由碰撞中动量守恒可求得pA′=2 kg·m/s要使A追上B,则必有:vA>vB,即> mB>1.4mA①
碰后pA′、pB′均大于零,表示同向运动,则应有:vB′≥vA′
即:≤ mB≤5mA②
碰撞过程中,动能不增加,则+≥+
即:+≥+
推得mB≥mA③
由①②③知,mA与mB的关系为mA≤mB≤5mA.
答案:C
图27
14.在光滑水平地面上有两个相同的弹性小球A、B,质量都为m.现B球静止,A球向B球运动,发生正碰.已知碰撞过程中总机械能守恒,两球压缩最紧时的弹性势能为Ep,则碰前A球的速度等于( )
A. B.
C.2 D.2
解析:A球向B球运动,B球原来静止.两球接触初期,vA>vB,两球形变增大,弹性势能增加.从vA=vB以后,由于弹力作用vA<vB,两球形变逐步恢复,弹性势能减小,显然vA=vB=v时弹性势能最大.两球碰撞,动量守恒.设A球初速度为v0,据mv0=2mv,v=.据机械能守恒定律,这时的弹性势能Ep=-=,解得v0=2.
答案:C
13.如图26所示,质量均为M的物体A和B静止在光滑水平地面上并紧靠在一起(不粘连),A的ab部分是四分之一光滑圆弧,bc部分是粗糙的水平面.现让质量为m的小物块C(可视为质点)自a点静止释放,最终刚好能到达c点而不从A上滑下.则下列说法中正确的是( )
A.小物块C到b点时,A的速度最大
B.小物块C到c点时,A的速度最大
C.小物块C到b点时,C的速度最大
D.小物块C到c点时,A的速率大于B的速率
解析:小物块C自a点静止释放,到达b点的过程中A、B、C三者组成的系统水平方向动量守恒,C对A的弹力做正功,A、B整体的速度越来越大,由于C和A、B整体的动量等大反向,所以C速度也越来越大,C在bc部分滑动的过程中,A、C组成的系统动量守恒,由于在b点时C的动量大于A的动量,所以最终C和A相对静止时,一起向右运动,C在bc段滑动的过程,C由于摩擦力作用做减速运动,A先向左做减速运动,然后向右做加速运动,直至与C有共同速度.B一直向左做匀速直线运动,由于A、B、C系统的动量也是守恒的,所以当A、C有共同速度时,A、C的总动量与B的动量等大反向,而A的质量和B的质量相等,因而当小物块C到c点时,A的速率小于B的速率.由此可以看出,小物块C到b点时,A的速度最大,小物块C到b点时,C的速度也达最大.
答案:AC
12.(2009年南京模拟)如图25所示,光滑水平面上有大小相同的A、B两球在同一直线上运动.两球质量关系为mB=2mA,规定向右为正方向,A、B两球的动量均为6 kg·m/s,运动中两球发生碰撞,碰撞后A球的动量增量为-4 kg·m/s,则( )
A.左方是A球,碰撞后A、B两球速度大小之比为2∶5
B.左方是A球,碰撞后A、B两球速度大小之比为1∶10
C.右方是A球,碰撞后A、B两球速度大小之比为2∶5
D.右方是A球,碰撞后A、B两球速度大小之比为1∶10
解析:由mB=2mA,知碰前vB<vA
若左为A球,设碰后二者速度分别为vA′,vB′
由题意知pA′=mAvA′=2 kg·m/s
pB′=mBvB′=10 kg·m/s
由以上各式得=,故正确选项为A.
若右为A球,由于碰前动量都为6 kg·m/s,即都向右运动,两球不可能相碰.
答案:A
图26
11.如图24所示,质量分别为m1、m2的两个小球A、B,带有等量异种电荷,通过绝缘轻弹簧相连接,置于绝缘光滑的水平面上.突然加一水平向右的匀强电场后,两球A、B将由静止开始运动,对两小球A、B和弹簧组成的系统,在以后的运动过程中,以下说法正确的是(设整个过程中不考虑电荷间库仑力的作用,且弹簧不超过弹性限度)( )
A.系统机械能不断增加 B.系统机械能守恒
C.系统动量不断增加 D.系统动量守恒
解析:对A、B组成的系统,所受电场力为零,这样系统在水平方向上所受外力为零,系统的动量守恒;对A、B及弹簧组成的系统,有动能、弹性势能、电势能三者的相互转化,故机械能不守恒.
答案:D
图25
10.(2009年朝阳区模拟)如图23所示,在光滑的水平地面上有一辆平板车,车的两端分别站着人A和B,A的质量为mA,B的质量为mB,mA>mB.最初人和车都处于静止状态.现在,两人同时由静止开始相向而行,A和B对地面的速度大小相等,则车( )
A.静止不动 B.左右往返运动
C.向右运动 D.向左运动
解析:系统动量守恒,A的动量大于B的动量,只有车与B的运动方向相同才能使整个系统动量守恒,故D正确.
答案:D
图24
9.如图22所示,质量为M的车厢静止在光滑的水平面上,车厢内有一质量为m的滑块,以初速度v0在车厢地板上向右运动,与车厢两壁发生若干次碰撞,最后静止在车厢中,则车厢最终的速度是( )
A.0
B.v0,方向水平向右
C.,方向一定水平向右
D.,方向可能是水平向左
解析:对m和M组成的系统,水平方向所受的合外力为零,动量一定守恒,由mv0=(M+m)v可得;车厢最终的速度为,方向一定水平向右,所以C选项正确.
答案:C
图23
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