30、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)已知双曲线的离心率e=2,且、分别是双曲线虚轴的上、下端点
(Ⅰ)若双曲线过点(,),求双曲线的方程;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若、是双曲线上不同的两点,且,求直线的方程
解:(Ⅰ)∵双曲线方程为
∴,
∴双曲线方程为 ,又曲线C过点Q(2,),
∴
∴双曲线方程为 ………………5分
(Ⅱ)∵,∴M、B2、N三点共线
∵, ∴
(1)当直线垂直x轴时,不合题意
(2)当直线不垂直x轴时,由B1(0,3),B2(0,-3),
可设直线的方程为,①
∴直线的方程为 ②
由①,②知 代入双曲线方程得
,得,
解得 , ∴,
故直线的方程为
29、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)已知,点满足,记点的轨迹为.
(Ⅰ)求轨迹的方程;
(Ⅱ)若直线过点且与轨迹交于、两点.
(i)设点,问:是否存在实数,使得直线绕点无论怎样转动,都有成立?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.
(ii)过、作直线的垂线、,垂足分别为、,记,求的取值范围.
解:(Ⅰ)由知,点的轨迹是以、为焦点的双曲线右支,由,∴,故轨迹E的方程为…(3分)
(Ⅱ)当直线l的斜率存在时,设直线l方程为,与双曲线方程联立消得,设、,
∴, 解得 ………………………………………(5分)
(i)∵
……………………(7分)
假设存在实数,使得,
故得对任意的恒成立,
∴,解得
∴当时,.
当直线l的斜率不存在时,由及知结论也成立,
综上,存在,使得. …………………………………………(8分)
(ii)∵,∴直线是双曲线的右准线,…………………………(9分)
由双曲线定义得:,,
方法一:∴
…………………………………………(10分)
∵,∴,∴………………………………………(11分)
注意到直线的斜率不存在时,,
综上, ………………………………………………………………(12分)
方法二:设直线的倾斜角为,由于直线
与双曲线右支有二个交点,∴,过
作,垂足为,则,
∴
……………………………………………………(10分)
由,得
故:
28、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)已知方向向量为的直线过椭圆C:=1(a>b>0)的焦点以及点(0,),椭圆C的中心关于直线的对称点在椭圆C的右准线上。
⑴求椭圆C的方程。
⑵过点E(-2,0)的直线交椭圆C于点M、N,且满足,(O为坐标原点),求直线的方程。
解:⑴直线①,过原点垂直于的直线方程为②
解①②得,∵椭圆中心O(0,0)关于直线的对称点在椭圆C的右准线上,
∴, …………………(2分)
∵直线过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0),∴,
故椭圆C的方程为 ③…………………(4分)
⑵当直线的斜率存在时,设 ,代入③并整理得
,设,
则……………(5分)
∴,……(7分)
点到直线的距离.
∵,即,
又由 得 ,
∴,…………………………(9分)
而,∴,即,
解得,此时 …………………………………(11分)
当直线的斜率不存在时,,也有,
经检验,上述直线均满足,
故直线的方程为
27、(福建省厦门市2008学年高三质量检查)已知曲线C上任意一点M到点F(0,1)的距离比它到直线的距离小1。
(1)求曲线C的方程;
(2)过点
①当的方程;
②当△AOB的面积为时(O为坐标原点),求的值。
(1)解法一:设, …………1分
即
当; …………3分
当 …………4分
化简得不合
故点M的轨迹C的方程是 …………5分
(1)解法二:的距离小于1,
∴点M在直线l的上方,
点M到F(1,0)的距离与它到直线的距离相等 …………3分
所以曲线C的方程为 …………5分
(2)当直线m的斜率不存在时,它与曲线C只有一个交点,不合题意,
设直线m的方程为,
代入 (☆) …………6分
与曲线C恒有两个不同的交点
设交点A,B的坐标分别为,
则 …………7分
①由,
…………9分
②
点O到直线m的距离,
…………10分
,
(舍去)
…………12分
当方程(☆)的解为
若
若 …………13分
当方程(☆)的解为
若
若 …………14分
所以,
26、(福建省泉州一中高2008届第一次模拟检测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A,B两点,N为弦AB的中点。
(1)求直线ON(O为坐标原点)的斜率KON ;
(2)对于椭圆C上任意一点M ,试证:总存在角(∈R)使等式:=cos+sin成立。
解:(1)设椭圆的焦距为2c,因为,所以有,故有。从而椭圆C的方程可化为: ① ………2分
易知右焦点F的坐标为(),
据题意有AB所在的直线方程为: ② ………3分
由①,②有: ③
设,弦AB的中点,由③及韦达定理有:
所以,即为所求。 ………5分
(2)显然与可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量,有且只有一对实数,使得等式成立。设,由1)中各点的坐标有:
,所以
。 ………7分
又点在椭圆C上,所以有整理为。 ④
由③有:。所以
⑤
又A﹑B在椭圆上,故有 ⑥
将⑤,⑥代入④可得:。 ………11分
对于椭圆上的每一个点,总存在一对实数,使等式成立,而
在直角坐标系中,取点P(),设以x轴正半轴为始边,以射线OP为终边的角为,显然 。
也就是:对于椭圆C上任意一点M ,总存在角(∈R)使等式:=cos+sin成立。
10.已知数列{an}、{bn}都是由正数组成的等比数列,公比分别为p、q,其中p>q且p≠1,q≠1,设cn=an+bn,Sn为数列{cn}的前n项和,求.
解:Sn=+,
当p>1时,p>q>0,得0<<1,上式分子、分母同除以pn-1,得
∴=p.
当p<1时,0<q<p<1, ==1.
[探索题]已知公比为的无穷等比数列各项的和为9,无穷等比数列各项的和为
(Ⅰ)求数列的首项和公比;
(Ⅱ)对给定的,设是首项为,公差为的等差数列.求数列的前10项之和;
(Ⅲ)设为数列的第项,,求,并求正整数,使得存在且不等于零
(注:无穷等比数列各项的和即当时该无穷数列前n项和的极限)
解: (Ⅰ)依题意可知,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以数列的的首项为,公差,
,即数列的前10项之和为155
(Ⅲ) ===,
,=
当m=2时,=-,当m>2时,=0,所以m=2
9. (2003年北京)如图,在边长为l的等边△ABC中,圆O1为△ABC的内切圆,圆O2与圆O1外切,且与AB、BC相切,…,圆On+1与圆On外切,且与AB、BC相切,如此无限继续下去,记圆On的面积为an(n∈N*).
(1)证明{an}是等比数列;
(2)求(a1+a2+…+an)的值.
(1)证明:记rn为圆On的半径,
则r1=tan30°=l.
=sin30°=,∴rn=rn-1(n≥2).
于是a1=πr12=,=()2=,
∴{an}成等比数列.
(2)解:因为an=()n-1·a1(n∈N*),
所以(a1+a2+…+an)==.
8.已知数列{an}、{bn}都是无穷等差数列,其中a1=3,b1=2,b2是a2与a3的等差中项,且
=,求极限 (++…+)的值.
解:{an}、{bn}的公差分别为d1、d2.
∵2b2=a2+a3,即2(2+d2)=(3+d1)+(3+2d1),
∴2d2-3d1=2.
又===,即d2=2d1,
∴d1=2,d2=4.
∴an=a1+(n-1)d1=2n+1,bn=b1+(n-1)d2=4n-2.
∴==(-).
∴原式=(1-)=.
7. 求下列极限:
;
解:(1)
(2)
4. 2; 5.2; 6.3.
[解答题]
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