41、(广东省五校2008年高三上期末联考)椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上,离心率e = ,椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e, 直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A、B,且.
(1)求椭圆方程;
(2)若,求m的取值范围.
解:(1)设C:+=1(a>b>0),设c>0,c2=a2-b2,由条件知a-c=,=,
∴a=1,b=c=,
故C的方程为:y2+=1 ………………………………………4分
(2)由=λ得-=λ(-),(1+λ)=+λ,
∴λ+1=4,λ=3 ………………………………………………6分
设l与椭圆C交点为A(x1,y1),B(x2,y2)
得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0
Δ=(2km)2-4(k2+2)(m2-1)=4(k2-2m2+2)>0 (*)
x1+x2=, x1x2= ………………………………………………9分
∵=3 ∴-x1=3x2 ∴
消去x2,得3(x1+x2)2+4x1x2=0,∴3()2+4=0
整理得4k2m2+2m2-k2-2=0 ………………………………………………11分
m2=时,上式不成立;m2≠时,k2=,
因λ=3 ∴k≠0 ∴k2=>0,∴-1<m<- 或 <m<1
容易验证k2>2m2-2成立,所以(*)成立
即所求m的取值范围为(-1,-)∪(,1) ………………………14分
40、(广东省四校联合体第一次联考)已知双曲线的中心在原点,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率为且过点(4,-)
(1)求双曲线方程;
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:点M在以F1F2为直径的圆上;
(3)求△F1MF2的面积.
解:(1) ∵离心率e=
∴设所求双曲线方程为x2-y2=(≠0)
则由点(4,-)在双曲线上
知=42-(-)2=6
∴双曲线方程为x2-y2=6
(2)若点M(3,m)在双曲线上
则32-m2=6 ∴m2=3
由双曲线x2-y2=6知F1(2,0),F2(-2,0)
∴
∴,故点M在以F1F2为直径的双曲线上.
(3)=×2C×|M|=C|M|=2×=6
39、(广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试)在平面直角坐标系中,已知点、,是平面内一动点,直线、的斜率之积为.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)过点作直线与轨迹交于、两点,线段的中点为,求直线的斜率的取值范围.
解:(Ⅰ)依题意,有(),化简得
(),
这就是动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)依题意,可设、、,则有
,
两式相减,得,由此得点的轨迹方程为
().
设直线:(其中),则
,
故由,即,解之得的取值范围是.
38、(广东省韶关市2008届高三第一次调研考试)在平面直角坐标系中,设点(1,0),直线:,点在直线上移动,是线段与轴的交点, .
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ) 记的轨迹的方程为,过点作两条互相垂直的曲线的弦、,设、 的中点分别为.求证:直线必过定点.
解:(Ⅰ)依题意知,直线的方程为:.点是线段的中点,且⊥,∴是线段的垂直平分线.…………………….2分
∴是点到直线的距离.
∵点在线段的垂直平分线,∴.…………4分
故动点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,其方程为:. ……….7分
(Ⅱ) 设,,直线AB的方程为…………….8分
则
(1)-(2)得,即,……………………………………9分
代入方程,解得.
所以点M的坐标为.……………………………………10分
同理可得:的坐标为.
直线的斜率为,方程为
,整理得,………………12分
显然,不论为何值,均满足方程,
所以直线恒过定点.………………14
37、(广东省汕头市澄海区2008年第一学期期末考试)已知椭圆的离心率为,F为椭圆在x轴正半轴上的焦点,M、N两点在椭圆C上,且,定点A(-4,0).
(1)求证:当时.,;
(2)若当时有,求椭圆C的方程;
(3)在(2)的条件下,当M、N两点在椭圆C运动时,当 的值为6时, 求出直线MN的方程.
解:(1)设,
则,
当时,,
由M,N两点在椭圆上,
若,则(舍去), (4分)
。(5分)
(2)当时,不妨设 (6分)
又,, (8分)
椭圆C的方程为。 (9分)
(3)因为=6, (10分)
由(2)知点F(2,0), 所以|AF|=6, 即得|yM-yN|= (11分)
当MN⊥x轴时, |yM-yN|=|MN|=, 故直线MN的斜率存在, (12分)
不妨设直线MN的方程为
联立,得,
=, 解得k=±1。
此时,直线的MN方程为,或。 (14分)
35、(广东省揭阳市2008年第一次模拟考试)设直线与椭圆相交于A、B两个不同的点,与x轴相交于点C,记O为坐标原点.
(1)证明:;
(2)若的面积取得最大值时的椭圆方程.
(1)证明:由 得
将代入消去得
① ………………………… 3分
由直线l与椭圆相交于两个不同的点得
整理得,即 ………5分
(2)解:设由①,得
∵而点, ∴
得代入上式,得 ……………8分
于是,△OAB的面积 --------11分
其中,上式取等号的条件是即 ……………………12分
由可得
将及这两组值分别代入①,均可解出
∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是
36、(广东省汕头市潮阳一中2008年高三模拟考试)如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0),l交椭圆于A、B两个不同点。
(1)求椭圆的方程;
(2)求m的取值范围;
(3)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
解:(1)设椭圆方程为
则
∴椭圆方程为
(2)∵直线l平行于OM,且在y轴上的截距为m
又KOM=
……………………………………………………5分
由……………………………………6分
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点,
(3)设直线MA、MB的斜率分别为k1,k2,只需证明k1+k2=0即可…………9分
设……………………10分
则
由
……………………………………………………10分
而
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.……………………14分
34、(广东省揭阳市2008年高中毕业班高考调研测试)设动点到定点的距离比它到轴的距离大1,记点的轨迹为曲线.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设圆过,且圆心在曲线上,是圆在轴上截得的弦,试探究当运动时,弦长是否为定值?为什么?
解:(1)依题意知,动点到定点的距离等于到直线的距离,曲线是以原点为顶点,为焦点的抛物线………………………………2分
∵ ∴
∴ 曲线方程是………4分
(2)设圆的圆心为,∵圆过,
∴圆的方程为 ……………………………7分
令得:
设圆与轴的两交点分别为,
方法1:不妨设,由求根公式得
,…………………………10分
∴
又∵点在抛物线上,∴,
∴ ,即=4--------------------------------------------------------13分
∴当运动时,弦长为定值4…………………………………………………14分
(方法2:∵,
∴
又∵点在抛物线上,∴, ∴
∴当运动时,弦长为定值4)
33、(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试)已知圆:.
(1)直线过点,且与圆交于、两点,若,求直线的方程;
(2)过圆上一动点作平行于轴的直线,设与轴的交点为,若向量,求动点的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.
解(Ⅰ)①当直线垂直于轴时,则此时直线方程为,
与圆的两个交点坐标为和,其距离为,满足题意……… 2分
②若直线不垂直于轴,设其方程为,
即 …………………………………………………… 3分
设圆心到此直线的距离为,则,得
∴,,
故所求直线方程为 ……………………………………5分
综上所述,所求直线为或 …………………… 6分
(Ⅱ)设点的坐标为,点坐标为,则点坐标是 …… 7分
∵,∴ 即, …………9分
又∵,∴ …………………………… 10分
由已知,直线m ∥ox轴,所以,,…………………………… 11分
∴点的轨迹方程是,…………………… 12分
轨迹是焦点坐标为,长轴为8的椭圆,
并去掉两点。
32、(广东省佛山市2008年高三教学质量检测一)抛物线的准线的方程为,该抛物线上的每个点到准线的距离都与到定点N的距离相等,圆N是以N为圆心,同时与直线 相切的圆,
(Ⅰ)求定点N的坐标;
(Ⅱ)是否存在一条直线同时满足下列条件:
① 分别与直线交于A、B两点,且AB中点为;
② 被圆N截得的弦长为.
解:(1)因为抛物线的准线的方程为
所以,根据抛物线的定义可知点N是抛物线的焦点, -----------2分
所以定点N的坐标为 ----------------------------3分
(2)假设存在直线满足两个条件,显然斜率存在, -----------4分
设的方程为, ------------------------5分
以N为圆心,同时与直线 相切的圆N的半径为, ----6分
方法1:因为被圆N截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离等于1, -------7分
即,解得, -------------------------------8分
当时,显然不合AB中点为的条件,矛盾! --------------9分
当时,的方程为 ----------------------------10分
由,解得点A坐标为, ------------------11分
由,解得点B坐标为, ------------------12分
显然AB中点不是,矛盾! ----------------------------------13分
所以不存在满足条件的直线. ------------------------------------14分
方法2:由,解得点A坐标为, ------7分
由,解得点B坐标为, ------------8分
因为AB中点为,所以,解得, ---------10分
所以的方程为,
圆心N到直线的距离, -------------------------------11分
因为被圆N截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离等于1,矛盾! ----13分
所以不存在满足条件的直线. -------------------------------------14分
方法3:假设A点的坐标为,
因为AB中点为,所以B点的坐标为, -------------8分
又点B 在直线上,所以, ----------------------------9分
所以A点的坐标为,直线的斜率为4,
所以的方程为, -----------------------------10分
圆心N到直线的距离, -----------------------------11分
因为被圆N截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离等于1,矛盾! ---------13分
所以不存在满足条件的直线.
31、(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)已知椭圆C:的左、右焦点为F1、F2,离心率为e. 直线与x轴、y轴分别交于点A、B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,P是点F1关于直线l的对称点,设
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若的周长为6;写出椭圆C的方程.
解:(Ⅰ)证法一:因为A、B分别是直线轴、y轴的交点,
所以A、B的坐标分别是 …………2分
由 …………4分
所以点M的坐标是
即 ………………6分
证法二:因为A、B分别是直线轴、y轴的交点,所以A、B的坐标分别是 ………………2分
设M的坐标是
………………4分
因为点M在椭圆上,所以
即
…………6分
(Ⅱ)当的周长为6,得
所以
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