2．理解a,b,c,e,等参数的几何意义及关系．

1．掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质;

22、已知b>－1, c<0，函数f(x)=x+b的图象与函数g(x)=x²+bx+c²的图象相切.

(1)求b与c的关系式；

(2)若令h(x)=f(x)g(x),且h(x)在(－∞，+∞)上有极值点，求c的取值范围.

解：

(1)g＇(x)=2x+b　　 f(x)=x+b

∴k1=1

∵f(x)与g(x)图像相切。

∴ y=x+b

　 y=x²+bx+c

∴x²+(b-1)x+c²-b=0

△=(b-1)²-4(c²-b)

　 =b²-4c²+2b+1=0

∴ b=-2c-1

(2)h(x)=f(x)g(x)

　　　 =(x+b)(x²+bx+c²)

　　　 =x³+2bx²+(b²+c²)x+bc²

h＇(x)=3x²+4bx+b²+c²

∵h(x)在R上有极值点。

∴△=16b²-4×3(b²+c²)>0

　　 b²-3c²>0

∴(-2c-1)²-3c²>0

c²+4c-1>0

∴c>-2+√3或c<-2-√3

21、已知函数f(x)=ax³+bx²+cx+d在x=0处取得极值，曲线y=f(x)过原点和点P(－1，2).若曲线y=f(x)在点P处的切线与直线y=2x的夹角为45°，且切线的倾斜角为钝角。

(1)求f(x)的表达式；

(2)若f(x)在区间[2m－1,m+1]上递增，求m的取值范围。

解：

(1) ∵ f(x) 过原点和P(-1,2)

∴ f(0)=d =0.　　 f(-1)=－a+b－c=2 ……………………………………①

y＇=3ax²+2bx+c　　 f＇(-1)=3a-2b+c=k2

y=2x　　 k₁=2

∵ (k₂-2)/(1+2k)=1　　 k₂= -3

即3a-2b+c=-3 …………………………………………………………②

又f＇(0)=c=0……………………………………………………③

①②③联立组成方程组，可得：

a=1　 ,　 b=3

∴f(x)=x³+3x²

(2)∵ f＇(x)=3x²+6x=3x(x+2)

∴x=0　　 x=－2

如图：

∴m≤－3 或　 1/2≤m＜2

20、已知函数f(x)=x³+bx²+cx+d在(－∞，0)上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f(x)=0的一个根为2.(1)求c的值；(2)求证：f(1)≥2.

解：

(1) f＇(x)=3x²+2bx+c

依题可知：x=0,x=2是f＇(x)的两根

∴f(0)为极大值。

∴f＇(0)=0　 ∴c=0

(2)f(x)=x³-3x²+d

∵f(x)=0的一根为2，且x=2是f(x)的极小值

　f(2)=0　 8+4b+d=0

d=-8-4b

f＇(x)=3x²+2bx=x(3x+2b)

-2/3b≥

∴b≤

∴f(1)=-3b-7≥2

19、已知函数f(x)=ax³+bx²－3x在x=±1处取得极值。

(1)讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值。

(2)过点A(0，16)作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。

解：

(1)f＇(x)=3ax²+2bx-3

∵f(x)在x=±1处取得极值。

∴x=±1是f＇(x)的两根。

∴f＇(1)=3a+2b-3　 f＇(-1)=3a-2b-3

∴a=1,b=0

∴f(x)=x³-3x

∴f＇(x)图象开口向上，f(-1)为极大值,f(1)为极小值。

(2)f＇(x)=3x²-3

设切线方程为y-f(x₀)- f＇(x₀)(x-x₀)

∵直线达点A(0，16)

∴　 1-f(x₀)=(3x₀²-3)(-x₀)

f(x₀)=x₀³-3x

∴x₀=-2,y₀=-2

∴k=9

y+2=9(x+2)，即9x-y+16

18、设函数f(x)=x³－3ax²+3bx的图象与直线12x+y－1=0相切于点(1，－11)。

(1)求a, b的值；

(2)讨论函数f(x)的单调性。

解：

(1)∵f(x)与直线相切于(1，-11)

∴f(1)=-11,即1-3a+3b=1…………………………………①

∵f＇(x)=3x²-6ax+3b,直线y=-12+1

∴f＇(1)=3-6ax+3b=-12……………………………………②

①②联立方程组可得：a=1,b=-3

(2)由①可知：f(x)=x³-3x²-9x

f＇(x)=3x²-6x-9=3(x+1)(x-3)

令f＇(x)>0,则x∈(-∞,-1)、(3，∞)为增函数。

令f＇(x)<0,则x∈(-1,3)为减函数。

17、已知函数f(x)=ax³+bx²+cx在点x₀处取得极大值5，其导函数y=的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示。求：(1)x₀的值；(2)a, b, c的值。

解：

(1)f ＇(x)= 3ax² + 2bx + c

当x₀取1时，f (x)取得极大值。

(2)又∵f(x₀)=5 ,x₀=1

∴f(1)=a + b + c =5……………………………①

又∵f(x)经过点(1，0)、(2，0)

∴f ＇(1)=3a + 2b + c=0……………………②

f ＇(x)=12a + 4b + c =0…………………… ③

①②③联立方程组，可解得：

a=2,b= -9,c=12

16、半径为r的圆的面积s(r)=πr²,周长c(r)=2πr,若将r看作(0，+∞)上的变量,则r①

①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，+∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：　　　　　　　　　　　 　

②式可用语言叙述为 圆的体积函数的导数等于圆的面积函数。　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

15、曲线y=2－与y=在交点处的切线夹角是　　　　　　 　。(以弧度数作答)