10. 如图,已知梯形ABCD中,点E分有向线段所成的比为,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点.当时,求双曲线离心率的取值范围.
解:如图,以AB的垂直平分线为y轴,直线AB为x轴,建立直角坐标系xoy,则CD⊥y轴.
因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点,由双曲线的对称性知C、D关于x轴对称.依题意,记A(-c,0),C(,h),E(x0, y0),其中c=|AB|为双曲线的半焦距,h是梯形的高.
由定比分点坐标公式得
x0== ,
.
设双曲线的方程为,则离心率.
由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和代入双曲线方程得
, ①
. ②
由①式得 , ③
将③式代入②式,整理得
,
故
由题设得,.
解得.
所以双曲线的离心率的取值范围为.
[探索题]如图,在双曲线的上支有三点,它们与点F(0,5)的距离成等差数列。
(1) 求
(2) 证明:线段AC的垂直平分线经过某一定点,并求此点坐标
解:(1)故F双曲线的焦点,设准线为,离心率为,
由题设有 ①
分别过A、B、C作x轴的垂线,则由双曲线的第二定义有,
代入①式,得,
于是两边均加上准线与x轴距离的2倍,有
AC的中垂线方程为
(2)由于A、C在双曲线上,所以有
相减得
故(2)式化为,易知此直线过定点。
思维点拨:利用第二定义得焦半径,可使问题容易解决,中垂线过弦AC的中点,中点问题往往把A、C的坐标代入方程,两式相减、变形,即可解决问题。
9. 已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值试对双曲线C′:-=1写出具有类似特性的性质,并加以证明
解:类似的性质为若MN是双曲线-=1上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值
设点M的坐标为(m,n),
则点N的坐标为(-m,-n),
其中-=1
又设点P的坐标为(x,y),
由kPM=,kPN=,
得kPM·kPN=·=,
将y2=x2-b2,n2=m2-b2,代入得 kPM·kPN=
点评:本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质,考查类比、归纳、探索问题的能力它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目,对思维能力有较高的要求
8.已知双曲线的方程为, 直线通过其右焦点F2,且与双曲线的右支交于A、B两点,将A、B与双曲线的左焦点F1连结起来,求|F1A|·|F1B|的最小值
解:设A(x1,y1),B(x2,y2),
A到双曲线的左准线x= ─= ─的距离d=|x1+|=x1+,
由双曲线的定义,=e=,
∴|AF1|=(x1+)=x1+2,
同理,|BF1|=x2+2,
∴|F1A|·|F1B|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+(x1+x2)+4 (1)
双曲线的右焦点为F2(,0),
(1)当直线的斜率存在时设直线AB的方程为:y=k(x─),
由消去y得 (1─4k2)x2+8k2x─20k2─4=0,
∴x1+x2=, x1x2= ─,
代入(1)整理得
|F1A|·|F1B|=+4=+4
=+4=+
∴|F1A|·|F1B|>;
(2)当直线AB垂直于x轴时,容易算出|AF2|=|BF2|=,
∴|AF1|=|BF1|=2a+=(双曲线的第一定义), ∴|F1A|·|F1B|=
由(1), (2)得:当直线AB垂直于x轴时|F1A|·|F1B| 取最大值
7. (2006江苏)已知三点P(5,2)、(-6,0)、(6,0).
(Ⅰ)求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设点P、、关于直线y=x的对称点分别为、、,求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。
解:(I)由题意,可设所求椭圆的标准方程为(a>b>0),
其半焦距c=6 2=|PF1|+|PF2|=+=6
∴=3,b2=a2-c2=45-36=9
所以所求椭圆的标准方程为
(II)点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=x的对称点分别为P´(2,5)、F1´(0,-6),F2´(0,6)
设所求双曲线的标准方程为(a1>0,b1>0).
由题意知,半焦距c1=6,
2a1=||P´F1´|-|P´F2´||=|-|=4.
∴a1=2,b=c-a=36-20=16.
所以所求双曲线的标准方程为
6. ||PF1|-|PF2||=6,cos∠F1PF2=
== =0
∴∠F1PF2=90°
[解答题]
6.已知双曲线的方程是16x2-9y2=144,F1和F2是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,且|PF1|·|PF2|=32,求∠F1PF2的大小
简答提示:1-3.CDC; 4. ; 5. ;
5.(2005山东)设双曲线的右焦点为,右准线与两条渐近线交于P、两点,如果是直角三角形,则双曲线的离心率e=________.
4.(2005福建)已知F1、F2是双曲线的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是_____
3. (2005天津)设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为 ( )
A. B. C. D.
[填空题]
2.(2005湖南)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右准线与一条渐近线交于点A,△OAF的面积为(O为原点),则两条渐近线的夹角为( )
A.30º B.45º C.60º D.90º
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