1.若二项式(-)n的展开式中第5项是常数项,则自然数n的值可能为( )
A.6 B.10 C.12 D.15
解析:Tr+1=C()n-r(-)r=(-2)rCx,当r=4时,=0,又n∈N*,
∴n=12.
答案:C
2.某地奥运火炬接力传递路线共分6段,传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方案共有________种.(用数字作答)
解析:分两类:第一棒是丙有C·C·A=48,第一棒是甲、乙中一人有C·C·A=48,
因此共有方案48+48=96(种).
答案:96
1.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有( )
A.20种 B.30种 C.40种 D.60种
解析:分类计数:甲在星期一有A=12种安排方法,甲在星期二有A=6种安排方法,甲在星期三有A种安排方法,总共有12+6+2=20(种).
答案:A
10.设M={1,2,3,…,n},M的子集中含有4个元素的子集的个数记为k,如果k个集合的所有元素之和为A,求n的值.
解答:集合M含有4个元素的子集中,其中含有1的子集共有C,同理含有i(i=2,3,…,n)的子集均共有C个,根据已知条件:(1+2+…+n)C=A,
整理得(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)=100×99×98×97×96,∴n=99.
9.在m(m≥2)个不同数的排列p1p2…pm中,若1≤i<j≤m时pi>pj(即前面某数大于后面某数),则称pi与pj构成一个逆序,一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列(n+1)n(n-1)…321的逆序数为an.如排列21的逆序数a1=1,排列321的逆序数a2=3,排列4 321的逆序数a3=6.
(1)求a4、a5,并写出an的表述式;
(2)令bn=+,证明2n<b1+b2+…+bn≤2n+3,n=1,2,….
解答:(1)a4=C=10,a5=C=15,∴an=C=.
(2)证明:bn=+=+=2+-,∴b1+b2+…+bn=2n+2(--),因此2n<b1+b2+…+bn<2n+3.
8.用0,1,2,3,4五个数字组成无重复数字的四位数.
(1)有多少个四位偶数?
(2)若按从小到大排列,其中3 204是第几个数?
解答:(1)解法一:先按个位数字情况分两类,第二类中再分三步:①0在个位时有A种;②2、4在个位时按个位、千位、十位和百位的顺序排,有AAA种,故共有A+AAA=60个四位偶数.
解法二:间接法,若无限制条件,总排列数为A,其中不符合条件的有两类:①0在千位,有A种;②1、3在个位,有AAA,则四位偶数有A-A-AA·A=60(个).
(2)解法一:分类法.由高位到低位逐级分为①千位是1或2时,有AA个;②千位是3时,百位可排0、1或2.ⓐ当百位排0、1时,有AA个;ⓑ当百位排2时,比3 204小的仅有3 201一个,故比3 204小的四位数共有A·A+A·A+1=61(个),3 204是第62个数.
解法二:间接法.AA-(A+A+AA)=62(个).
7.从1到100的自然数中,每次取出不同的两个数,使它们的和大于100,则不同的取法数有________种.
解析:可从50,51,52,…,100中任取两个共有C种取法;对于k,可从100,99,…,100-k+1中任取一个(k=1,2,…,49)有k种取法;由分类计数原理共有C+1+2+…+49=2 500种取法.
答案:2 500
6.平面内有10个点,其中5个点在一条直线上,此外再没有三点共线,则共可确定______条直线;共可确定______个三角形.
解析:C-C+1=36,C-C=110.
答案:36 110
5.(2010·郑州高三月考)在一次某高校的招生面试会上,有A、B、C、D四个高校设摊要从6名应试者中各招收且必招收一名学生,若甲、乙两人都不能被A高校录取,且每人只能被一个高校录取或不被录取,则不同的录取方法共有________种.(用数字作答)
解析:A校必须从除去甲、乙的4人中录取1人共4种方法;B、C、D三个学校从剩余的5人中各录取1人,共A种方法,由分步计数原理不同的录取方法共4A=240(种).
答案:240
4.(2009·广东)2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有( )
A.36种 B.12种 C.18种 D.48种
解析:若四人中包含小张和小赵两人,则不同的选派方案有AA=12(种);若四人中恰含有小张和小赵中一人,则不同的选派方案有:CAA=24(种),由分类计数原理不同的选派方案共有36种.
答案:A
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