1.若(1+x)2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,令f(n)=a0+a2+a4+…+a2n,
则f(1)+f(2)+…+f(n)等于( )
A.(2n-1) B.(2n-1) C.(4n-1) D.(4n-1)
解析:令x=1,则a0+a1+a2+…+a2n=22n,①
令x=-1,则a0-a1+a2-…+a2n=0,②
×①+×②得 a0+a2+…+a2n=22n-1,即f(n)=22n-1,∴f(1)+f(2)+…+f(n)
=2+23+25+…+22n-1==(4n-1).
答案:D
10.已知f(x)=.
(1)试证:f(x)在(-∞,+∞)上为单调递增函数;(2)若n∈N*,且n≥3,
试证:f(n)>.
证明:(1)设x1<x2,f(x1)-f(x2)=-=
=,
由x1<x2则2x1<2x2,∴2x1-2x2<0.因此f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
因此f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
(2)当n∈N*且n≥3,要证f(n)>,即>,只须证2n>2n+1,
∵2n=C+C+C+…+C>C+C+C=2n+1.
∴f(n)>.
9.已知等差数列2,5,8,…与等比数列2,4,8,…,求两数列公共项按原来顺序排列构
成新数列{Cn}的通项公式.
解答:等差数列2,5,8,…的通项公式为an=3n-1,等比数列2,4,8,…的通项公式
为bk=2k,
令3n-1=2k,n∈N*,k∈N*,即n==
=,
当k=2m-1时,m∈N*,n=∈N*,
Cn=b2n-1=22n-1(n∈N*).
8.已知(+)n的展开式中前三项的x的系数成等差数列.
(1)求展开式里所有的x的有理项;(2)求展开式里系数最大的项.
解答:(1)∵C=1,C·=,C()2=n(n-1),由题设可知2·=1+n(n-1),
n2-9n+8=0,解得n=8或n=1(舍去).当n=8,通项Tr+1=C()8-r·(2)-r
=C·2-r·x4-r.据题意,4-必为整数,从而可知r必为4的倍数,而0≤r≤8,
∴r=0,4,8,故x的有理项为T1=x4,T5=x,T9=.
(2)设第r+1项的系数tr+1最大,显然tr+1>0,
故有≥1且≤1.∵==,由≥1得r≤3.∵≤1,得r≥2,
∴r=2或r=3,所求项为T3=7x和T4=7x.
7.若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则a2+a4+…+a12=________.
解析:令x=1,则a0+a1+a2+…+a12=36,令x=-1,则a0-a1+a2-…+a12=1,
∴a0+a2+a4+…+a12=.令x=0,则a0=1,∴a2+a4+…+a12=-1=364.
答案:364
6.(x2+1)(x-2)7的展开式中x3项的系数是________.
解析:(x2+1)(x-2)7=(x2+1)(x7-2Cx6+4Cx5-8Cx4+16Cx3-32Cx2+
64Cx-128),
则其展开式中x3项的系数为64C+16C=1 008.
答案:1 008
5.已知二项式(1-3x)n的展开式中所有项系数之和等于64,那么这个展开式中含x2
项的系数是________.
解析:令x=1,则(1-3x)n=(-2)n,即(-2)n=64,∴n=6.又Tr+1=C(-3x)r,
则T3=C(-3x)2=135x2,∴(1-3x)n展开式中含x2项的系数为135.
答案:135
4.在(1-x)5(1+x)4的展开式中x3项的系数为( )
A.-6 B.-4 C.4 D.6
解析:(1-x)5(1+x)4=(1-Cx+Cx2-Cx3+…)·(1+Cx+Cx2+Cx3+Cx4),
∴x3项的系数为1×C-CC+CC-C×1=4.
答案:C
3.(2009·滨州调研)在(x2+3x+2)5展开式中x的系数为( )
A.160 B.240 C.360 D.800
解析:解法一:在(x2+3x+2)5展开式中x项的系数为3C×24=240.
解法二:(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5=(x5+Cx4+…+1)(x5+2Cx4+…+25),
∴其展开式中x项的系数为C25+C24=240.
答案:B
2.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是( )
A.74 B.121 C.-74 D.-121
解析:展开式中含x3项的系数为C(-1)3+C(-1)3+C(-1)3+C(-1)3=-121.
答案:D
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