1．若(1+x)²ⁿ＝a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ，令f(n)＝a₀+a₂+a₄+…+a_2n，

则f(1)+f(2)+…+f(n)等于(　)

A.(2ⁿ－1)　 B.(2ⁿ－1)　 C.(4ⁿ－1)　 D.(4ⁿ－1)

解析：令x＝1，则a₀+a₁+a₂+…+a_2n＝2²ⁿ，①

令x＝－1，则a₀－a₁+a₂－…+a_2n＝0，②

×①+×②得　a₀+a₂+…+a_2n＝2^2n－1，即f(n)＝2^2n－1，∴f(1)+f(2)+…+f(n)

＝2+2³+2⁵+…+2^2n－1＝＝(4ⁿ－1)．

答案：D

10．已知f(x)＝.

(1)试证：f(x)在(－∞，+∞)上为单调递增函数；(2)若n∈N^*，且n≥3，

试证：f(n)＞.

证明：(1)设x₁＜x₂，f(x₁)－f(x₂)＝－＝

＝，

由x₁＜x₂则2x₁＜2x₂，∴2x₁－2x₂＜0.因此f(x₁)－f(x₂)＜0，即f(x₁)＜f(x₂)，

因此f(x)在(－∞，+∞)上单调递增．

(2)当n∈N^*且n≥3，要证f(n)＞，即＞，只须证2ⁿ＞2n+1，

∵2ⁿ＝C+C+C+…+C＞C+C+C＝2n+1.

∴f(n)＞.

9．已知等差数列2,5,8，…与等比数列2,4,8，…，求两数列公共项按原来顺序排列构

成新数列{C_n}的通项公式．

解答：等差数列2,5,8，…的通项公式为a_n＝3n－1，等比数列2,4,8，…的通项公式

为b_k＝2^k，

令3n－1＝2^k，n∈N^*，k∈N^*，即n＝＝

＝，

当k＝2m－1时，m∈N^*，n＝∈N^*，

C_n＝b_2n－1＝2^2n－1(n∈N^*)．

8．已知(+)ⁿ的展开式中前三项的x的系数成等差数列．

(1)求展开式里所有的x的有理项；(2)求展开式里系数最大的项．

解答：(1)∵C＝1，C·＝，C()²＝n(n－1)，由题设可知2·＝1+n(n－1)，

n²－9n+8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去)．当n＝8，通项T_r+1＝C()^8－r·(2)^－r

＝C·2^－r·x4－r.据题意，4－必为整数，从而可知r必为4的倍数，而0≤r≤8，

∴r＝0,4,8，故x的有理项为T₁＝x⁴，T₅＝x，T₉＝.

(2)设第r+1项的系数t_r+1最大，显然t_r+1＞0，

故有≥1且≤1.∵＝＝，由≥1得r≤3.∵≤1，得r≥2，

∴r＝2或r＝3，所求项为T₃＝7x和T₄＝7x.

7．若(1+x+x²)⁶＝a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₂x¹²，则a₂+a₄+…+a₁₂＝________.

解析：令x＝1，则a₀+a₁+a₂+…+a₁₂＝3⁶，令x＝－1，则a₀－a₁+a₂－…+a₁₂＝1，

∴a₀+a₂+a₄+…+a₁₂＝.令x＝0，则a₀＝1，∴a₂+a₄+…+a₁₂＝－1＝364.

答案：364

6．(x²+1)(x－2)⁷的展开式中x³项的系数是________．

解析：(x²+1)(x－2)⁷＝(x²+1)(x⁷－2Cx⁶+4Cx⁵－8Cx⁴+16Cx³－32Cx²+

64Cx－128)，

则其展开式中x³项的系数为64C+16C＝1 008.

答案：1 008

5．已知二项式(1－3x)ⁿ的展开式中所有项系数之和等于64，那么这个展开式中含x²

项的系数是________．

解析：令x＝1，则(1－3x)ⁿ＝(－2)ⁿ，即(－2)ⁿ＝64，∴n＝6.又T_r+1＝C(－3x)^r，

则T₃＝C(－3x)²＝135x²，∴(1－3x)ⁿ展开式中含x²项的系数为135.

答案：135

4．在(1－x)⁵(1+x)⁴的展开式中x³项的系数为(　)

A．－6　 　　 B．－4　 　　 C．4　 　 D．6

解析：(1－x)⁵(1+x)⁴＝(1－Cx+Cx²－Cx³+…)·(1+Cx+Cx²+Cx³+Cx⁴)，

∴x³项的系数为1×C－CC+CC－C×1＝4.

答案：C

3．(2009·滨州调研)在(x²+3x+2)⁵展开式中x的系数为(　)

A．160　 　　 B．240　 　　 C．360　 　　 D．800

解析：解法一：在(x²+3x+2)⁵展开式中x项的系数为3C×2⁴＝240.

解法二：(x²+3x+2)⁵＝(x+1)⁵(x+2)⁵＝(x⁵+Cx⁴+…+1)(x⁵+2Cx⁴+…+2⁵)，

∴其展开式中x项的系数为C2⁵+C2⁴＝240.

答案：B

2．在(1－x)⁵+(1－x)⁶+(1－x)⁷+(1－x)⁸的展开式中，含x³的项的系数是(　)

A．74　 　　　　　 B．121　 　　 C．－74　 　 D．－121

解析：展开式中含x³项的系数为C(－1)³+C(－1)³+C(－1)³+C(－1)³＝－121.

答案：D