1、集合的概念
(1)集合:某些指定的对象集在一起就形成一个集合
(2)元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素
3.A、B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验,每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效.若在一个试验组中,服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为,服用B有效的概率为.
(1)求一个试验组为甲类组的概率;
(2)观察3个试验组,用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数.求ξ的分布列和数学期望.
解答:(1)设Ai表示事件“一个试验组中,服用A有效的小白鼠有i只”,
i=0,1,2,
Bi表示事件“一个试验组中,服用B有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2.
依题意有P(A1)=2××=,P(A2)=×=,P(B0)=×=,
P(B1)=2××=.
所求的概率为P=P(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2)
=×+×+×=.
(2)ξ的可能值为0,1,2,3且ξ-B.
P(ξ=0)=3=,P(ξ=1)=C××2=,
P(ξ=2)=C×2×=,P(ξ=3)=3=.
ξ的分布为
ξ |
0 |
1 |
2 |
3 |
P |
|
|
|
|
数学期望Eξ=3×=.
2.若随机变量X的概率分布密度函数是φμ,σ(x)=e-,(x∈R),则E(2X-1)=________.
解析:σ=2,μ=-2,E(2X-1)=2E(X)-1=2×(-2)-1=-5.
答案:-5
1.在一次英语考试中,考试的成绩服从正态分布(100,36),那么考试成绩在区间(88,112]内的概率是( )
A.0.682 6 B.0.317 4 C.0.954 4 D.0.997 4
解析:由已知X-N(100,36),
故P(88<X≤112)=P(<Z≤)=P(-2<Z≤2)=2P(Z≤2)-1=0.954 4.
答案:C
10.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标,相互之间没有影响;每次射击是否击中目标,相互之间没有影响.
(1)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;
(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;
(3)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?
解答:(1)记“甲连续射击4次至少有一次未击中目标”为事件A1,由题意知,射击4次,相当于作4次独立重复试验,故P(A1)=1-P(1)=1-4=.
所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为.
(2)记“甲射击4次,恰有2次射中目标”为事件A2,“乙射击4次,恰有3次射中目标”为事件B2,
则P(A2)=C·2·2=,P(B2)=C·3·1=.
由于甲乙射击相互独立,故P(A2B2)=P(A2)P(B2)=×=.
所以两人各射击4次,甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.
(3)记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A3,“乙第i次射击未击中”为事件Di(i=1,2,3,4,5),则A3=D5·D4··,且P(Di)=.
由于各事件相互独立,故
P(A3)=P(D5)·P(D4)·P()·P()=×××=.
所以乙恰好射击5次后被中止射击的概率为.
9.某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走,第一条路线穿过市区,路程较短,但交通拥挤,所需时间(单位为分)服从正态分布N(50,102);第二条路线沿环城公路走,路程较长,但交通阻塞少,所需时间服从正态分布N(60,42)
(1)若只有70分钟可用,问应走哪条路线?
(2)若只有65分钟可用,又应走哪条路线?
解答:设ξ为行车时间
(1)走第一条路线,及时赶到的概率为
P(0<ξ≤70)=Φ()-Φ()≈Φ()=Φ(2)=0.977 2.
走第二条路线及时赶到的概率为P(0<ξ≤70)≈Φ()=Φ(2.5)=0.993 8.
因此在这种情况下应走第二条路线.
(2)走第一条路线及时赶到的概率为P(0<ξ≤65)≈Φ()=Φ(1.5)=0.933 2.
走第二条路线及时赶到的概率为P(0<ξ≤65)≈Φ()=Φ(1.25)=0.894 4.
因此在这种情况下应走第一条路线.
8.一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球,从袋子里随机取球,取到每个球的可能性是相同的,设取到一个红球得2分,取到一个黑球得1分.
(1)若从袋子里一次随机取出3个球,求得4分的概率;
(2)若从袋子里每次摸出一个球,看清颜色后放回,连续摸3次,求得分ξ的概率分布列及数学期望.
解答:(1)设“一次取出3个球得4分”的事件记为A,它表示取出的球中有1个红球和2个黑球的情况,则P(A)==.
(2)由题意,ξ的可能取值为3、4、5、6.因为是有放回地取球,所以每次取到红球的概率为,取到黑球的概率为.
P(ξ=3)=C333=,P(ξ=4)=C232·=,P(ξ=5)=C13·2=,P(ξ=6)=C033=.
∴ξ的分布列为
ξ |
3 |
4 |
5 |
6 |
P |
|
|
|
|
数学期望Eξ=3×+4×+5×+6×=(分).
7.某射手射击1次,击中目标的概率是0.9,他连续射击4次,且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论:
①他第3次击中目标的概率是0.9;②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1;③他至少击中目标1次的概率是1-0.14.
其中正确结论的序号是____(写出所有正确结论的序号).
解析:①③正确.恰好击中目标3次的概率应为C×0.93×0.1.
答案:①③
6.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),则下列结论正确的是________.
(1)P(|ξ|<a)=P(|ξ|<a)+P(|ξ|=a)(a>0)
(2)P(|ξ|<a)=2P(ξ<a)-1(a>0)
(3)P(|ξ|<a)=1-2P(ξ<a)(a>0)
(4)P(|ξ|<a)=1-P(|ξ|>a)(a>0)
解析:P(|ξ|=a)=0.
答案:(1),(2),(4).
5.接种某疫苗后,出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗,至少有3人出现发热反应的概率为________.(精确到0.01)
解析:设出现发热反应的人数为ξ:P(ξ=3)=C0.83×0.22=0.204 8,P(ξ=4)=C×0.84×0.2=0.409 6,P(ξ=5)=C0.85=0.327 68,∴P=0.204 8+0.409 6+0.327 68=0.942 08≈0.94.
答案:0.94
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