1、集合的概念

(1)集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合

(2)元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素

3．A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为.

(1)求一个试验组为甲类组的概率；

(2)观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数．求ξ的分布列和数学期望．

解答：(1)设A_i表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，

i＝0,1,2，

B_i表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2.

依题意有P(A₁)＝2××＝，P(A₂)＝×＝，P(B₀)＝×＝，

P(B₁)＝2××＝.

所求的概率为P＝P(B₀·A₁)+P(B₀·A₂)+P(B₁·A₂)

＝×+×+×＝.

(2)ξ的可能值为0,1,2,3且ξ-B.

P(ξ＝0)＝³＝，P(ξ＝1)＝C×ײ＝，

P(ξ＝2)＝Cײ×＝，P(ξ＝3)＝³＝.

ξ的分布为

数学期望Eξ＝3×＝.

2．若随机变量X的概率分布密度函数是φ_μ，σ(x)＝e－，(x∈R)，则E(2X－1)＝________.

解析：σ＝2，μ＝－2，E(2X－1)＝2E(X)－1＝2×(－2)－1＝－5.

答案：－5

1．在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布(100,36)，那么考试成绩在区间(88,112]内的概率是(　)

A．0.682 6　 B．0.317 4　 C．0.954 4　 D．0.997 4

解析：由已知X-N(100,36)，

故P(88＜X≤112)＝P(＜Z≤)＝P(－2＜Z≤2)＝2P(Z≤2)－1＝0.954 4.

答案：C

10．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．

(1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；

(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；

(3)假设某人连续2次未击中目标，则停止射击．问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？

解答：(1)记“甲连续射击4次至少有一次未击中目标”为事件A₁，由题意知，射击4次，相当于作4次独立重复试验，故P(A₁)＝1－P(₁)＝1－⁴＝.

所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为.

(2)记“甲射击4次，恰有2次射中目标”为事件A₂，“乙射击4次，恰有3次射中目标”为事件B₂，

则P(A₂)＝C·²·²＝，P(B₂)＝C·³·¹＝.

由于甲乙射击相互独立，故P(A₂B₂)＝P(A₂)P(B₂)＝×＝.

所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.

(3)记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A₃，“乙第i次射击未击中”为事件D_i(i＝1,2,3,4,5)，则A₃＝D₅·D₄··，且P(D_i)＝.

由于各事件相互独立，故

P(A₃)＝P(D₅)·P(D₄)·P()·P()＝×××＝.

所以乙恰好射击5次后被中止射击的概率为.

9．某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位为分)服从正态分布N(50,10²)；第二条路线沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布N(60,4²)

(1)若只有70分钟可用，问应走哪条路线？

(2)若只有65分钟可用，又应走哪条路线？

解答：设ξ为行车时间

(1)走第一条路线，及时赶到的概率为

P(0＜ξ≤70)＝Φ()－Φ()≈Φ()＝Φ(2)＝0.977 2.

走第二条路线及时赶到的概率为P(0＜ξ≤70)≈Φ()＝Φ(2.5)＝0.993 8.

因此在这种情况下应走第二条路线．

(2)走第一条路线及时赶到的概率为P(0＜ξ≤65)≈Φ()＝Φ(1.5)＝0.933 2.

走第二条路线及时赶到的概率为P(0＜ξ≤65)≈Φ()＝Φ(1.25)＝0.894 4.

因此在这种情况下应走第一条路线．

8．一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分．

(1)若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率；

(2)若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得分ξ的概率分布列及数学期望．

解答：(1)设“一次取出3个球得4分”的事件记为A，它表示取出的球中有1个红球和2个黑球的情况，则P(A)＝＝.

(2)由题意，ξ的可能取值为3、4、5、6.因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为，取到黑球的概率为.

P(ξ＝3)＝C333＝，P(ξ＝4)＝C232·＝，P(ξ＝5)＝C13·2＝，P(ξ＝6)＝C033＝.

∴ξ的分布列为

数学期望Eξ＝3×+4×+5×+6×＝(分)．

7．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：

①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.9³×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.1⁴.

其中正确结论的序号是____(写出所有正确结论的序号)．

解析：①③正确．恰好击中目标3次的概率应为C×0.9³×0.1.

答案：①③

6．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，则下列结论正确的是________．

(1)P(|ξ|＜a)＝P(|ξ|＜a)+P(|ξ|＝a)(a＞0)

(2)P(|ξ|＜a)＝2P(ξ＜a)－1(a＞0)

(3)P(|ξ|＜a)＝1－2P(ξ＜a)(a＞0)

(4)P(|ξ|＜a)＝1－P(|ξ|＞a)(a＞0)

解析：P(|ξ|＝a)＝0.

答案：(1)，(2)，(4)．

5．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为________．(精确到0.01)

解析：设出现发热反应的人数为ξ：P(ξ＝3)＝C0.8³×0.2²＝0.204 8，P(ξ＝4)＝C×0.8⁴×0.2＝0.409 6，P(ξ＝5)＝C0.8⁵＝0.327 68，∴P＝0.204 8+0.409 6+0.327 68＝0.942 08≈0.94.

答案：0.94