8.(2008年上海理17)(13’)
如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°
的扇形AOB,小区的两个出入口设置在点A及点C
处,且小区里有一条平行于BO的小路CD,已知某
人从C沿CD走到D用了10分钟,从D沿DA走到A
用了6分钟,若此人步行的速度为每分钟50米,
求该扇形的半径OA的长(精确到1米)
[解析][解法一] 设该扇形的半径为米,连接. ……2分
由题意,得 (米),(米), ……4分
在△中, ……6分
即, ……9分
解得 (米)答:该扇形的半径的长约为445米. ……13分
[解法二] 连接,作,交于, ……2分
由题意,得(米),
(米), ……4分
在△中,
.
(米). ……6分
. ……9分
在直角△中,(米),,
(米).
答:该扇形的半径的长约为445米. ……13分
6.(2009年辽宁理 17 ) (本小题满分 12 分)
如图, A , B , C , D 都在同一个与水平面垂直的平面内, B , D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得 B 点和 D 点的仰角分别为750 , 300 ,于水面C处测得B点和D点的仰角都为600,AC=.试探究图中B,D间距离与另外哪两点距离相等,然后求B,D 的距离 (计算结果精确到)
解:在△ACD中,
所以CD= AC=.
又∠BCD=故CB是△CAD底边的中垂线,所以BD=BA。--5 分
在△ABC中,,因此,,故B,D 的距离为。--------------12 分
|
在中,角所对的边分别为,且满足,.
(I)求的面积; (II)若,求的值.
解析:(I)因为,,
又由,得,
(II)对于,又,或,
由余弦定理得,
5.(2009年安徽理16)(本小题满分12分)
在ABC中,, sinB=.
(I)求sinA的值; (II)设AC=,求ABC的面积.
本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识,考查运算求解能力。本小题满分12分
解:(Ⅰ)由,且,∴,∴,
∴,又,∴
(Ⅱ)如图,由正弦定理得
∴,又
∴
4.(2009年天津理17)(本小题满分12分)
在⊿ABC中,BC=,AC=3,sinC=2sinA
(I) 求AB的值: (II) 求sin的值
解析:本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力。满分12分。
(Ⅰ)解:在△ABC中,根据正弦定理,于是AB=
(Ⅱ)解:在△ABC中,根据余弦定理,得cosA=
于是 sinA=从而sin2A=2sinAcosA=,cos2A=cos2A-sin2A=
所以 sin(2A-)=sin2Acos-cos2Asin=
3.(2009年海南理17)(本小题满分12分)
为了测量两山顶M,N间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量,A,B,M,N在同一个铅垂平面内(如示意图),飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离,请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤。
解:方案一:①需要测量的数据有:A点到M,N点的俯角;B点到M,
N的俯角;A,B的距离 d (如图所示) .
②第一步:计算AM . 由正弦定理 ;
第二步:计算AN . 由正弦定理 ;
第三步:计算MN. 由余弦定理 .
方案二:①需要测量的数据有:
A点到M,N点的俯角,;B点到M,N点的府角,;A,B的距离 d (如图所示).
②第一步:计算BM . 由正弦定理 ;
第二步:计算BN . 由正弦定理 ;
第三步:计算MN . 由余弦定理
2.(2010年福建理19)(本小题满分13分)
。,轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处,并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇。
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向与航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。
[解析]如图,由(1)得
而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,故轮船与小艇不可能在A、C(包含C)的任意位置相遇,设,OD=,
由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为和,
所以,解得,
从而值,且最小值为,于是
当取得最小值,且最小值为。
此时,在中,,故可设计航行方案如下:
航行方向为北偏东,航行速度为30海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇。
1.( 2010年陕西理17)(本小题满分12分)
如图,A,B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间?
解: 由题意知AB=海里,
∠ DAB=90°-60°=30°,∠ DAB=90°-45°=45°,
∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°,
在△ADB中,有正弦定理得
6.(2008年江苏13)满足条件的三角形的面积的最大值
[解析]本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想.设BC=,则AC= ,
根据面积公式得=,根据余弦定理得
,代入上式得
=由三角形三边关系有
解得,故当时取得最大值答案]
5.(2010年山东理15)在中,角所对的边分别为a,b,c,若,,,则角的大小为 .
[答案][解析]由得,即,因为,所以,又因为,,所以在中,由正弦定理得:,解得,又,所以,所以。
[命题意图]本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理,考查了同学们解决三角形问题的能力,属于中档题。
4..(2010年广东理11)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=, A+C=2B,则sinC= .
解析由A+C=2B及A+ B+ C=180°知,B =60°.由正弦定理知,,
即.由知,,则,,.
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