例1、(07上海春21)我们在下面的表格内填写数值:先将第1行的所有空格填上1;再把一个首项为1,公比为的数列依次填入第一列的空格内;然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格
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第1列 |
第2列 |
第3列 |
… |
第列 |
第1行 |
1 |
1 |
1 |
… |
1 |
第2行 |
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第3行 |
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… |
… |
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第行 |
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(1) 设第2行的数依次为,试用表示的值;
(2) 设第3列的数依次为,求证:对于任意非零实数,;
(3) 请在以下两个问题中选择一个进行研究 (只能选择一个问题,如果都选,被认为选择了第一问)
① 能否找到的值,使得(2) 中的数列的前项 () 成为等比数列?若能找到,的值有多少个?若不能找到,说明理由
② 能否找到的值,使得填完表格后,除第1列外,还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列?并说明理由。
[解] (1) ,
所以 …… 4分
(2) ,,
, …… 7分
由
,
得 …… 10分
(3) ①先设成等比数列,由,得 ,
此时 ,,
所以是一个公比为的等比数列 …… 13分
如果,为等比数列,那么一定是等比数列
由上所述,此时,,,,… 由于,
因此,对于任意,一定不是等比数列 …… 16分
综上所述,当且仅当且时,数列是等比数列 …… 18分
② 设和分别为第列和第列的前三项,,
则,
…… 13分
若第列的前三项是等比数列,则由,得
,
, …… 16分
同理,若第列的前三项是等比数列,则
当时,
所以,无论怎样的,都不能同时找到两列数 (除第1列外),使它们的前三项都成等比数列 …… 18
例2、(06广东19)已知公比为的无穷等比数列各项的和为9,无穷等比数列各项的和为。
(I)求数列的首项和公比;
(II)对给定的,设是首项为,公差为的等差数列,求的前10项之和;
(III)设为数列的第项,,求,并求正整数,使得存在且不等于零。
(注:无穷等比数列各项的和即当时该无穷等比数列前项和的极限)
19解: (Ⅰ)依题意可知,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以数列的的首项为,公差,
,即数列的前10项之和为155.
(Ⅲ) ===,
,=
当m=2时,=-,当m>2时,=0,所以m=2。
例3、(05全国Ⅰ19)设等比数列的公比为,前项和.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)设,记的前项和为,试比较与的大小。
(三)解答题:
3、(06全国Ⅱ22)设数列的前项和为,且方程有一根为,=1,2,3,…。(Ⅰ)求;(Ⅱ)的通项公式。
解:(Ⅰ)当n=1时,x2-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1,
于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=.
当n=2时,x2-a2x-a2=0有一根为S2-1=a2-,
于是(a2-)2-a2(a2-)-a2=0,解得a1=.
(Ⅱ)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,
即 Sn2-2Sn+1-anSn=0.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1,代入上式得
Sn-1Sn-2Sn+1=0 ①
由(Ⅰ)知S1=a1=,S2=a1+a2=+=.
由①可得S3=.
由此猜想Sn=,n=1,2,3,…. ……8分
下面用数学归纳法证明这个结论.
(i)n=1时已知结论成立.
(ii)假设n=k时结论成立,即Sk=,
当n=k+1时,由①得Sk+1=,即Sk+1=,
故n=k+1时结论也成立.
综上,由(i)、(ii)可知Sn=对所有正整数n都成立. ……10分
于是当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=,
又n=1时,a1==,所以
{an}的通项公式an=,n=1,2,3,…. ……12分
(二)填空题:
2、(06广东)在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间,某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第1堆只有1层,就一个球;第堆最底层(第一层)分别按图4所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第堆第层就放一个乒乓球,以表示第堆的乒乓球总数,则;(答案用表示)。
(一)选择题:
1、(04湖北)已知数列{}的前n项和
其中a、b是非零常数,则存在数列{}、{}使得( )
A、为等差数列,{}为等比数列
B、和{}都为等差数列
C、为等差数列,{}都为等比数列
D、和{}都为等比数列
例1、(07广东)已知数列的前项和,第项满足,则( ) A、9 B、8 C、7 D、6
例2、(06北京20)在数列中,若 是正整数,且,3,4,5,…,则称 为“绝对差数列”。(Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项);(Ⅱ)若“绝对差数列”中,,,数列满足
=1,2,3,…,分虽判断当时, 与的极限是否存在,如果存在,求出其极限值;(Ⅲ)证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项。
(Ⅰ)解:,(答案不惟一)
(Ⅱ)解:因为在绝对差数列中,.所以自第 20 项开始,该数列是,,
即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3,0,3. 所以当时,的极限
不存在. 当时, ,所以
(Ⅲ)证明:根据定义,数列必在有限项后出现零项.证明如下 假设中没有零项,由于,所以对于任意的n,都有,从而 当时, ; 当 时, 即的值要么比至少小1,要么比至少小1. 令 则 由于是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项 ,这与() 矛盾. 从而必有零项. 若第一次出现的零项为第项,记,则自第项开始,每三个相邻的项周期地取值 0,, , 即
所以绝对差数列中有无穷多个为零的项。
例3、(05江西21)已知数列:;
(1)证明(2)求数列的通项公式。
[思路点拨]本题考查数列的基础知识,考查运算能力和推理能力.第(1)问是证明递推关系,联想到用数学归纳法,第(2)问是计算题,也必须通过递推关系进行分析求解.
[正确解答](1)方法一 用数学归纳法证明:
1°当n=1时,
∴,命题正确.
2°假设n=k时有
则
而
又
∴时命题正确.
由1°、2°知,对一切n∈N时有
方法二:用数学归纳法证明:
1°当n=1时,∴;
2°假设n=k时有成立,
令,在[0,2]上单调递增,所以由假设
有:即
也即当n=k+1时 成立,所以对一切
(2)下面来求数列的通项:所以
又bn=-1,所以.
[解后反思]数列是高考考纲中明文规定必考内容之一,考纲规定学生必须理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项.当然数列与不等式的给合往往得高考数学的热点之一,也成为诸多省份的最后压轴大题,解决此类问题,必须有过硬的数学基础知识与过人的数学技巧,同时运用数学归纳法也是比较好的选择,不过在使用数学归纳法的过程中,一定要遵循数学归纳法的步骤。
18.暑假不补课,我们却怀念校园中结伴玩乐的情景;平时上学时,我们又期盼早点放假。我们在矛盾中成长着。矛盾是我们人生绕不过的弯,有的人在矛盾面前迷惘了人生的方向,有的人在矛盾中学会了选择,有的人在解决矛盾中长大,而在有的人看来,这所谓的矛盾并不是矛盾。
请以“矛盾,成长的音符”为题,写一篇不少于800字的文章。
要求:①角度自选;②立意自定;③除诗歌外,文体自选。
语文Ⅱ(加试题)
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