(二)填空题:
7、(07重庆)设为公比的等比数列,若和是方程的两根,则______;
8、(06重庆)在数列中,若,则该数列的通项_________。
(一)选择题:
1、(07重庆)若是与的等比中项,则的最大值为( )
A、 B、 C、 D、
2、(07陕西)各项均为正数的等比数列 的前项和为为,若,,则等于( )
A、80 B、30 C、26 D、16
3、(06湖北)若互不相等的实数成等差数列,成等比数列,且,则 ( ) A、4 B、2 C、-2 D、-4
4、(06湖南)若数列满足: , 且对任意正整数都有, 则
( )
A、 B、 C、 D、
5、(06辽宁)在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于( ) A、 B、 C、 D、
6、(05江苏)在各项都为正数的等比数列中,首项,前三项和为21,则( )
A、33 B、72 C、84 D、189
例1、(06天津)已知数列满足,并且
(为非零参数,)。
(1)若成等比数列,求参数的值;(2)当时,证明;
(3)当时,证明。
解:(I)由已知,
且
若、、成等比数列,则,即。
而, 解得。
(II)由已知及,可得
由不等式的性质,有
另一方面,
因此,故
(III)当时,由(II)可知
又由(II)则
从而因此
例2、(05全国Ⅱ18)已知是各项均为正数的等差数列,、、成等差数列.又,….(Ⅰ)证明为等比数列;(Ⅱ)如果无穷等比数列各项的和,求数列的首项和公差。
例3、(04吉林)数列的前项和记为,已知=(=1,2,3,…).证明:(Ⅰ)数列{}是等比数列;(Ⅱ).
(三)解答题:
9、(07福建21)等差数列的前项和为.
(Ⅰ)求数列的通项与前项和;
(Ⅱ)设,求证:数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列。
解:(Ⅰ)由已知得,,
故.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.
假设数列中存在三项(互不相等)成等比数列,则.
即.
,
.
与矛盾.
所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列.
(二)填空题:
8、(06浙江)设为等差数列的前项和,若,则公差为 (用数字作答)。
(一)选择题:
1、(04全国)已知方程的四个根组成一个首项为等差数列,则等于( )
A、1 B、 C、 D、
2、(04全国Ⅲ)设数列是等差数列, ,是数列的前n项和,则( )
A、S4<S5 B、S4=S5 C、S6<S5 D、S6=S5
3、(05福建)
4、(06全国Ⅰ10)设是公差为正数的等差数列,若,,则( )
A、 B、 C、 D、
5、(06全国Ⅱ11)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=( )
A、 B、 C、 D、
6、(06天津)已知数列 都是公差为1的等差数列,其首项分别为 ,且,.设(),则数列的前10项和等于( )
A、55 B、70 C、85 D、100
7、(06重庆)在等差数列中,若,是数列的前项和,则的值为( )
A、48 B、54 C、60 D、66
例1、(06广东)已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为( )
A、5 B、4 C、3 D、2
例2、(06上海春22)已知数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列;是公差为的等差数列;是公差为的等差数列().
(1)若,求;
(2)试写出关于的关系式,并求的取值范围;
(3)续写已知数列,使得是公差为的等差数列,……,依次类推,把已知数列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论?
[解](1). …… 4分
(2), …… 8分
,
当时,. …… 12分
(3)所给数列可推广为无穷数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列,当时,数列是公差为的等差数列. …… 14分
研究的问题可以是:试写出关于的关系式,并求的取值范围.…… 16分
研究的结论可以是:由,
依次类推可得
当时,的取值范围为等. …… 18分
例3、(04天津20)设是一个公差为的等差数列,它的前10项和且,,成等比数列。(1)证明;(2)求公差的值和数列的通项公式。
(三)解答题:
6、(07江苏20)已知是等差数列,是公比为的等比数列,,,记为数列的前项和.
(1)若(是大于的正整数),求证:;
(2)若(是某个正整数),求证:是整数,且数列中的每一项都是数列中的项;
(3)是否存在这样的正数,使等比数列中有三项成等差数列?若存在,写出一个的值,并加以说明;若不存在,请说明理由.
解:(1)设等差数列的公差为,则由题设得,,且.
由得,所以,
.
故等式成立.
(2)(ⅰ)证明为整数:
由得,即,
移项得.
因,,得,故为整数.
(ⅱ)证明数列中的每一项都是数列中的项:
设是数列中的任一项,只要讨论的情形.
令,即,
得.
因,当时,,为或,则为或;
而,否则,矛盾.
当时,为正整数,所以为正整数,从而.
故数列中的每一项都是数列中的项.
(3)取,,.
.
所以,,成等差数列。
(二)填空题:
4、(07江西)已知数列对于任意,有,若,则 ;
5、(07安徽)如图,抛物线与轴的正半轴交于点,将线段的等分点从左至右依次记为,过这些分点分别作轴的垂线,与抛物线的交点依次为,从而得到个直角三角形.当时,这些三角形
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(一)选择题:
1、(05全国Ⅱ11)如果,,…,为各项都大于零的等差数列,公差,则
A、 B、 C、++ D、=
2、(04浙江)已知等差数列的公差为2,若成等比数列, 则=( )
A、–4 B、–6 C、–8 D、–10
3、(04湖南11)农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成2003年某地区农民人均收入为3150元(其中工资性收入为1800元,其它收入为1350元), 预计该地区自2004年起的5 年内,农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长,其它收入每年增加160元根据以上数据,2008年该地区农民人均收入介于( )
A、4200元~4400元 B、4400元~4600元 C、4600元~4800元 D、4800元~5000元
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