4、补集: 数学表达式
3、子集: 数学表达式
2、常用数集符号:N Z Q R
集合:
1、集合中的元素属性:
(1) (2) (3)
2. 如何解决与简易逻辑有关的问题:
1) 力求寻找构成此复合命题的简单命题;
2) 利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题
3、分类思想; 4、数形结合思想.
[解题规律]1、如何解决与集合的运算有关的问题:
1)对所给的集合进行尽可能的化简;
2)有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系;
3)有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素.
本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分:
[知识点与学习目标]:
[高考评析]
集合知识作为整个数学知识的基础,在高考中重点考察的是集合的化简,以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维,寻求解决其他问题的方法.
[学法指导]本章的基本概念较多,要力求在理解的基础上进行记忆.
[数学思想]
1、等价转化的数学思想; 2、求补集的思想;
3.已知函数f(x)=x3+ax+b定义在区间[-1,1]上,且f(0)=f(1),设x1,x2∈[-1,1]且x1≠x2.
(1)求证:|f(x1)-f(x2)|<2|x1-x2|;
(2)若0<x1<x2≤1,求证:|f(x1)-f(x2)|<1.
证明:(1)由f(0)=f(1),得b=1+a+b,解得a=-1.故f(x)=x3-x+b,设x1,x2∈[-1,1].
则|f(x1)-f(x2)|=|x-x1-x+x2|=|x1-x2|·|x+x1x2+x-1|.
因为-1≤x1,x2≤1,则0≤x≤1,0≤x≤1,-1≤x1x2≤1,所以-1≤x+x+x1x2≤3,
当且仅当x1=x2=±1时,右边取等号.∵x1≠x2,∴右边等号取不到.
若x+x+x1x2=-1,则x+x+(x1x2+1)=0.
∵x1x2+1≥0,∴x1=x2=0且x1x2+1=0矛盾,∴左边等号也取不到.
所以两边等号均不成立.所以-1<x+x+x1x2<3.
所以-2<x+x+x1x2-1<2.所以|x+x+x1x2-1|<2,
即|f(x1)-f(x2)|<2|x1-x2|.
(2)因为f′(x)=3x2-1,令f′(x)=0,则x=.由导数的知识容易验证,
当x=时,[f(x)]min=b-.又f(1)=b,所以当x∈(0,1]时,b-≤f(x)≤b.
则b-≤f(x1)≤b,b-≤f(x2)≤b.因为x1≠x2,所以f(x1)≠f(x2).所以-≤f(x1)-f(x2)≤.即|f(x1)-f(x2)|≤.又<1,所以|f(x1)-f(x2)|<1.
2.已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a0=1,an+1=an·(4-an)(n∈N).
证明:an<an+1<2(n∈N).
证明:证法一:用数学归纳法证明:
(1)当n=0时,a0=1,a1=a0(4-a0)=,所以a0<a1<2,命题正确.
(2)假设n=k-1(k∈N*)时命题成立,即ak-1<ak<2.
则当n=k时,ak-ak+1
=ak-1(4-ak-1)-ak(4-ak)=2(ak-1-ak)-(ak-1-ak)(ak-1+ak)
=(ak-1-ak)(4-ak-1-ak).
而ak-1-ak<0,4-ak-1-ak>0,所以ak-ak+1<0.
又ak+1=ak(4-ak)= [4-(ak-2)2]<2.所以n=k时命题成立.
由(1)(2)可知,对一切n∈N时有an<an+1<2.
证法二:用数学归纳法证明:
(1)当n=0时,a0=1,a1=a0(4-a0)=,所以0<a0<a1<2;
(2)假设n=k-1(k∈N*)时有ak-1<ak<2成立,令f(x)=x(4-x),f(x)在[0,2]上单调递增,所以由假设有:f(ak-1)<f(ak)<f(2),
即ak-1(4-ak-1)<ak(4-ak)<×2×(4-2),
也即当n=k时,ak<ak+1<2成立.所以对一切n∈N,有ak<ak+1<2.
1.对于任意实数a,b定义运算a*b=(a+1)(b+1)-1,给出以下结论:①对于任意实数a,b,c,有a*(b+c)=(a*b)+(a*c);②对于任意实数a,b,c,有a*(b*c)=(a*b)*c;③对于任意实数a,有a*0=a,则以上结论正确的是________.(写出你认为正确的结论的所有序号)
解析:按新定义,可以验证a*(b+c)≠(a*b)+(a*c),所以①不成立;
而a*(b*c)=(a*b)*c成立,a*0=(a+1)(0+1)-1=a.所以正确的结论是②③.
答案:②③
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