4、补集：　　　　　　　 　　　数学表达式 　　　　　　　　　　

3、子集：　　　　　　　 　　　数学表达式　　　　　 　　　　

2、常用数集符号：N 　　　　　　Z 　　　　　　Q 　　　　　　　R　 　　　　

集合：

1、集合中的元素属性：

(1)　　　　　　　 　(2)　　　　　　 　(3)　　　　　　　

2． 如何解决与简易逻辑有关的问题：

1) 力求寻找构成此复合命题的简单命题；

2) 利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题

3、分类思想； 　　　　　4、数形结合思想．

[解题规律]1、如何解决与集合的运算有关的问题:

1)对所给的集合进行尽可能的化简；

2)有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系；

3)有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素．

本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分：

[知识点与学习目标]：

[高考评析]

集合知识作为整个数学知识的基础，在高考中重点考察的是集合的化简，以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维，寻求解决其他问题的方法．

[学法指导]本章的基本概念较多，要力求在理解的基础上进行记忆．

[数学思想]

1、等价转化的数学思想； 2、求补集的思想；

3．已知函数f(x)＝x³+ax+b定义在区间[－1,1]上，且f(0)＝f(1)，设x₁，x₂∈[－1,1]且x₁≠x₂.

(1)求证：|f(x₁)－f(x₂)|<2|x₁－x₂|；

(2)若0<x₁<x₂≤1，求证：|f(x₁)－f(x₂)|<1.

证明：(1)由f(0)＝f(1)，得b＝1+a+b，解得a＝－1.故f(x)＝x³－x+b，设x₁，x₂∈[－1,1]．

则|f(x₁)－f(x₂)|＝|x－x₁－x+x₂|＝|x₁－x₂|·|x+x₁x₂+x－1|.

因为－1≤x₁，x₂≤1，则0≤x≤1,0≤x≤1，－1≤x₁x₂≤1，所以－1≤x+x+x₁x₂≤3，

当且仅当x₁＝x₂＝±1时，右边取等号．∵x₁≠x₂，∴右边等号取不到．

若x+x+x₁x₂＝－1，则x+x+(x₁x₂+1)＝0.

∵x₁x₂+1≥0，∴x₁＝x₂＝0且x₁x₂+1＝0矛盾，∴左边等号也取不到．

所以两边等号均不成立．所以－1<x+x+x₁x₂<3.

所以－2<x+x+x₁x₂－1<2.所以|x+x+x₁x₂－1|<2，

即|f(x₁)－f(x₂)|<2|x₁－x₂|.

(2)因为f′(x)＝3x²－1，令f′(x)＝0，则x＝.由导数的知识容易验证，

当x＝时，[f(x)]_min＝b－.又f(1)＝b，所以当x∈(0,1]时，b－≤f(x)≤b.

则b－≤f(x₁)≤b，b－≤f(x₂)≤b.因为x₁≠x₂，所以f(x₁)≠f(x₂)．所以－≤f(x₁)－f(x₂)≤.即|f(x₁)－f(x₂)|≤.又<1，所以|f(x₁)－f(x₂)|<1.

2．已知数列{a_n}的各项都是正数，且满足：a₀＝1，a_n+1＝a_n·(4－a_n)(n∈N)．

证明：a_n<a_n+1<2(n∈N)．

证明：证法一：用数学归纳法证明：

(1)当n＝0时，a₀＝1，a₁＝a₀(4－a₀)＝，所以a₀<a₁<2，命题正确．

(2)假设n＝k－1(k∈N^*)时命题成立，即a_k－1<a_k<2.

则当n＝k时，a_k－a_k+1

＝a_k－1(4－a_k－1)－a_k(4－a_k)＝2(a_k－1－a_k)－(a_k－1－a_k)(a_k－1+a_k)

＝(a_k－1－a_k)(4－a_k－1－a_k)．

而a_k－1－a_k<0,4－a_k－1－a_k>0，所以a_k－a_k+1<0.

又a_k+1＝a_k(4－a_k)＝ [4－(a_k－2)²]<2.所以n＝k时命题成立．

由(1)(2)可知，对一切n∈N时有a_n<a_n+1<2.

证法二：用数学归纳法证明：

(1)当n＝0时，a₀＝1，a₁＝a₀(4－a₀)＝，所以0<a₀<a₁<2；

(2)假设n＝k－1(k∈N^*)时有a_k－1<a_k<2成立，令f(x)＝x(4－x)，f(x)在[0,2]上单调递增，所以由假设有：f(a_k－1)<f(a_k)<f(2)，

即a_k－1(4－a_k－1)<a_k(4－a_k)<×2×(4－2)，

也即当n＝k时，a_k<a_k+1<2成立．所以对一切n∈N，有a_k<a_k+1<2.

1．对于任意实数a，b定义运算a*b＝(a+1)(b+1)－1，给出以下结论：①对于任意实数a，b，c，有a*(b+c)＝(a*b)+(a*c)；②对于任意实数a，b，c，有a*(b*c)＝(a*b)*c；③对于任意实数a，有a*0＝a，则以上结论正确的是________．(写出你认为正确的结论的所有序号)

解析：按新定义，可以验证a*(b+c)≠(a*b)+(a*c)，所以①不成立；

而a*(b*c)＝(a*b)*c成立，a*0＝(a+1)(0+1)－1＝a.所以正确的结论是②③.

答案：②③