2. (07广东)已知函数的定义域为,的定义域为,则( ) A. B. C. D.
1. (2009广东)已知全集,集合
和的关系的韦恩(Venn)图如图1所示,则阴影部分所示的集合的元素共有( )
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多个
(二)填空题:
8、(07山东)设是不等式组表示的平面区域,则中的点到直线距离的最大值是 ;
9、(06全国Ⅰ)设,式中变量满足下列条件:则的最大值为_____________;
10、(07重庆)已知满足则函数的最大值是______;
11、(07陕西)已知实数满足条件则的最大值为 ;
12、(07湖北)设变量满足约束条件则目标函数的最小值为 .
(一)选择题:
1、(06广东)在约束条件下,当时,目标函数的最大值的变化范围是( )
A、 B、 C、 D、
2、(06山东)某公司招收男职员x名,女职员y名,须满足约束条件则z=10x+10y的最大值是( )
A、80 B、 85 C、90 D、95
3、(04广东)变量满足下列条件:,则使的值最小的是( ) A、 ( 4.5 ,3 ) B、( 3,6 ) C、 ( 9, 2 ) D、( 6, 4 )
4、(07四川)某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍,且对每个项目的投资不能低于5万元,对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润,对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上共可获得的最大利润为( )
A、36万元 B、31.2万元 C、30.4万元 D、24万元
5、(07天津)设变量满足约束条件则目标函数的最大值为( ) A、4 B、11 C、12 D、14
6、(07辽宁)已知变量满足约束条件则的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
7、(07江苏)在平面直角坐标系中,已知平面区域
,则平面区域的面积为( )
A、 B、 C、 D、
例1、(06湖南)已知 则的最小值是_____________;
例2、(06重庆)已知变量满足约束条件,若目标函数(其中)仅在点(3,1)处取得最大值,则的取值范围为___________;
例3、(04江苏)制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损。某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪,可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?
(三)解答题:
7、(06全国Ⅰ)设数列的前项的和,
(Ⅰ)求首项与通项;(Ⅱ)设,,证明:。
解: (Ⅰ)由 Sn=an-×2n+1+, n=1,2,3,… , ① 得 a1=S1= a1-×4+ 所以a1=2.
再由①有 Sn-1=an-1-×2n+, n=2,3,4,…
将①和②相减得: an=Sn-Sn-1= (an-an-1)-×(2n+1-2n),n=2,3, …
整理得: an+2n=4(an-1+2n-1),n=2,3, … , 因而数列{ an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=4×4n-1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n-2n, n=1,2,3, …,
(Ⅱ)将an=4n-2n代入①得 Sn= ×(4n-2n)-×2n+1 + = ×(2n+1-1)(2n+1-2)
= ×(2n+1-1)(2n-1)
Tn= = × = ×( - )
所以, = - ) = ×( - ) < 。
(二)填空题:
5、(07山东)函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为 ;
6、(07上海)若,且,则的最大值是 。
(一)选择题:
1、(07海南)已知,,成等差数列,成等比数列,则的最小值是( ) A、 B、 C、 D、
2、(07北京)如果正数满足,那么( )
A、,且等号成立时的取值唯一
B、,且等号成立时的取值唯一
C、,且等号成立时的取值不唯一
D、,且等号成立时的取值不唯一
3、(06上海)若关于的不等式≤+4的解集是,则对任意实常数,总有( )
A、2∈,0∈; B、2,0;
C、2∈,0; D、2,0∈
4、(06重庆)若且,则的最小值为( )
A、 B、 C、 D、
例1、(07上海春)设是正实数,以下不等式
① ,② ,③ ,④
恒成立的序号为
(A) ①、③ (B) ①、④ (C) ②、③ (D) ②、④
例2、(05全国Ⅰ)当时,函数的最小值为( )
(A)2 (B) (C)4 (D)
例3、(05全国Ⅲ)已知在中,,是上的点,则点到的距离乘积的最大值是
解:P到BC的距离为d1,P到AC的距离为d2,则三角形的面积得3d1+4d2=12,∴3d14d2≤,∴d1d2的最大值为3,这时3d1+4d2=12, 3d1=4d2得d1=2,d2=。
例4、(04吉林22)已知函数。(1)求函数的最大值;(2)设,证明:。
(I)解:函数f(x)的定义域是(-1,∞),(x)=.令(x)=0,解得x=0,当-1<x<0时, (x)>0,当x>0时,(x)<0,又f(0)=0,故当且仅当x=0时,f(x)取得最大值,最大值是0
(II)证法一:g(a)+g(b)-2g()=alna+blnb-(a+b)ln=a.
由(I)的结论知ln(1+x)-x<0(x>-1,且x≠0),由题设0<a<b,得,因此,.
所以a>-.
又 a<a
综上0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.
(II)证法二:g(x)=xlnx,,设F(x)= g(a)+g(x)-2g(),
则当0<x<a时因此F(x)在(0,a)内为减函数当x>a时因此F(x)在(a,+∞)上为增函数从而,当x=a时,F(x)有极小值F(a)因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即0<g(a)+g(b)-2g().
设G(x)=F(x)-(x-a)ln2,则当x>0时,,因此G(x)在(0,+∞)上为减函数,因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.
(三)解答题:
4、(06四川22)已知函数, 的导函数是。对任意两个不相等的正数,证明:
(Ⅰ)当时,;
(Ⅱ)当时,。
证明:(Ⅰ)由
得
而 ①
又
∴ ②
∵ ∴
∵ ∴ ③
由①、②、③得
即
(Ⅱ)证法一:由,得
∴
下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立
即证成立
∵
设,则
令得,列表如下:
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极小值 |
|
∴
∴对任意两个不相等的正数,恒有
证法二:由,得
∴
∵是两个不相等的正数
∴
设,
则,列表:
|
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|
极小值 |
|
∴ 即
∴
即对任意两个不相等的正数,恒有
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