52、(河南省开封市2008届高三年级第一次质量检)双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，O为坐标原点，点A在双曲线的右支上，点B在双曲线左准线上，

　 (1)求双曲线的离心率e；

　 (2)若此双曲线过C(2，)，求双曲线的方程；

　 (3)在(2)的条件下，D₁、D₂分别是双曲线的虚轴端点(D₂在y轴正半轴上)，过D₁的直线l交双曲线M、N，的方程。

解：(1)四边形F₂ABO是平行四边形

∴四边 形F₂ABO是菱形.

∴

由双曲线定义得

(2)

，双曲线方程为

把点C代入有

∴双曲线方程

(3)D₁(0，－3)，D₂(0，3)，设l的方程为

则由

因l与与双曲线有两个交点，

故所求直线l方程为

51、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)已知直线过椭圆E:的右焦点，且与E相交于两点.

(1)设(为原点)，求点的轨迹方程；

(2)若直线的倾斜角为60°，求的值.

解：(1)设

　　 由，易得右焦点　　　　　 ----------(2分)

当直线轴时，直线的方程是：，根据对称性可知

当直线的斜率存在时，可设直线的方程为

代入E有;　 ----(5分)

于是　;　

消去参数得而也适上式，故R的轨迹方程是-(8分)

(2)设椭圆另一个焦点为，

在中设，则

由余弦定理得

同理，在，设，则

也由余弦定理得

于是　　　　　　　　　 ---------(12分)

10.公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ξ-N(173，7²)(cm)，问车门应设计多高？

解：设公共汽车门的设计高度为x cm，由题意，需使P(ξ≥x)＜1%.

∵ξ-N(173，7²)，∴P(ξ≤x)=Φ()＞0.99.

查表得＞2.33，∴x＞189.31，即公共汽车门的高度应设计为190 cm，可确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞.

[探索题]已知测量误差ξ-N(2，100)(cm)，必须进行多少次测量，才能使至少有一次测量误差的绝对值不超过8 cm的频率大于0.9?

解：设η表示n次测量中绝对误差不超过8 cm的次数，则η-B(n，p).

其中P=P(|ξ|<8)=Φ()－Φ()=Φ(0.6)－1+Φ(1)=0.7258－1+0.8413=0.5671.

由题意，∵P(η≥1)>0.9，n应满足P(η≥1)=1－P(η=0)=1－(1－p)ⁿ>0.9，

∴n>==2.75.

因此，至少要进行3次测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过8 cm的概率大于0.9.

9. 一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润x(万元)分别服从正态分布N(8，3²)和N(6，2²)，投资者要求利润超过5万元的概率尽量地大，那么他应选择哪一个方案?

解：对第一个方案，有x-N(8，3²)，于是P(x>5)=1－P(x≤5)=1－F(5)=1－Φ()=1－Φ(－1)=1－［1－Φ(1)]=Φ(1)=0.8413.

对第二个方案，有x-N(6，2²)，于是P(x>5)=1－P(x≤5)=1－F(5)=1－Φ()=1－Φ(－0.5)=Φ(0.5)=0.6915.

相比之下，“利润超过5万元”的概率以第一个方案为好，可选第一个方案.

8. 已知连续型随机变量ε的概率密度函数，且f(x) ≥0，求常数k的值，并计算概率P(1.5≤ε<2.5)。

　 分析:凡是计算连续型随机变量ε的密度函数f(x)中的参数、概率P(a≤ε≤b)都需要通过求面积来转化而求得。若f(x) ≥0且在[a，b]上为线性，那么P(a≤ε≤b)的值等于以b-a为高，f(a)与f(b)为上、下底的直角梯形的面积，即

。

　　 解:　 ∵

　　 ∴；

7. 某批零件共160个，其中，一级品48个，二级品64个，三级品32个，等外品16个.从中抽取一个容量为20的样本.请说明分别用简单随机抽样、系统抽样和分层抽样法抽取时总体中的每个个体被取到的概率均相同.

剖析：要说明每个个体被取到的概率相同，只需计算出用三种抽样方法抽取个体时，每个个体被取到的概率.

解：(1)简单随机抽样法：可采取抽签法，将160个零件按1-160编号，相应地制作1-160号的160个签，从中随机抽20个.显然每个个体被抽到的概率为=.

(2)系统抽样法：将160个零件从1至160编上号，按编号顺序分成20组，每组8个.然后在第1组用抽签法随机抽取一个号码，如它是第k号(1≤k≤8)，则在其余组中分别抽取第k+8n(n=1，2，3，…，19)号，此时每个个体被抽到的概率为.

(3)分层抽样法：按比例=，分别在一级品、二级品、三级品、等外品中抽取48×=6个，64×=8个，32×=4个，16×=2个，每个个体被抽到的概率分别为，，，，即都是.

综上可知，无论采取哪种抽样，总体的每个个体被抽到的概率都是.

评述：三种抽样方法的共同点就是每个个体被抽到的概率相同，这样样本的抽取体现了公平性和客观性.

5. 分层抽样，抽样比例为=，分别有6辆、30辆、10辆;　 6.25人.

[解答题]

4.对正态分布，μ=Eξ=3，σ²=Dξ=1，故P(－1＜ξ≤1)=Φ(1－3)－Φ(－1－3)=Φ(－2)－Φ(－4)=Φ(4)－Φ(2).答案：B

5.(2003全国)某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取______辆、______辆、______辆.