72、(吉林省吉林市2008届上期末)抛物线C的方程为,作斜率为的两条直线,分别交抛物线C于A两点(P、A、B三点互不相同),且满足
(1)求抛物线C的焦点坐标和准线方程;
(2)设直线AB上一点M满足证明:线段PM的中点在y轴上;
(3)当时,若点P的坐标为(1,-1),求∠PAB为钝角时,点A的纵坐标的取
值范围.
解:(1)由抛物线C的方程得,
焦点坐标为 ……………………………………2分
(2)设直线PA的方程为
|
将②式代入①式,得,
于是 ③…………………………………………4分
|
将⑤式代入④式,得,
于是 …………………………………………4分
由已知得, ⑥
设点M的坐标为
将③式和⑥式代入上式,得
所以线段PM的中点在y轴上 ……………………………………………………8分
(3)因为点P(1,-1)在抛物线
由③式知
将代入⑥式得
因此,直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为
故当
即………………………………………………………12分
71、(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知椭圆的左焦点为F,O为坐标原点。过点F的直线交椭圆于A、B两点.
(1)若直线的倾斜角,求;
(2)求弦AB的中点M的轨迹;
(3)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,
线段AB的垂直平分线与轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.
解:(1)直线方程为与联立得
…………………4分
(2)设弦AB的中点M的坐标为依题意有
所以弦AB的中点M的轨迹是以为中心,焦点在轴上,长轴长为1,短轴长为的椭圆。 …………………8分
(3)设直线AB的方程为
代入整理得
直线AB过椭圆的左焦点F,方程有两个不等实根。
记中点 则
的垂直平分线NG的方程为 令得
点G横坐标的取值范围为 …………………13分
70、(湖南省岳阳市2008届高三第一次模拟)已知直线l: y=2x-与椭圆C:+y2= 1 (a>1)交于P、Q两点, 以PQ为直径的圆过椭圆C的右顶点A.
(1) 设PQ中点M(x0,y0), 求证: x0<
(2)求椭圆C的方程.
解: (1)设直线l: y=2x-与椭圆C: +y2= 1 (a>1)交于P(x1,y1),Q(x2,y2), 右顶点A(a,0), 将y=2x-代入x2+a2y2-a2=0中整理得(4a2+1)x2-4a2x+2a2=0
∵M(x0,y0)为PQ中点 ∴x0= = = - 故x0<
(2)依题意: ·=0, 则(x1-a)(x2-a)+y1y2=0 又y1=2x1-, y2=2x2-
故 (x1-a)(x2-a)+(2x1-)(2x2-)=0 由①②代入③ 得: 4a4-4a3-a2+3=0
∴(a-)(4a2-a-)=0 ∵a>1, 则4a2-a->0 故a=
故所椭圆方程为 + y2=1
69、(湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考)在平面直角坐标系中,已知,若实数使得(为坐标原点)
(I)求点的轨迹方程,并讨论点的轨迹类型;
(Ⅱ)当时,若过点的直线(斜率不等于零)与(I)中点的轨迹交于不同的两点E、F(E在B、F之间),试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.
解:(I)由已知可得.
5分
即P点的轨迹方程是 7分.
当 P点的轨迹是两个点. 9分
,即时,方程为 P点的轨迹是双曲线. 11分
,即时,方程为, P点的轨迹是两条射线. 13分
68、(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)已知圆M:(x+)2+y2=36及定点N(,0),点P是圆M上的动点,点Q在NP上,点G在MP上,且满足.
(1)求点G的轨迹C的方程.
(2)过点K(2,0)作直线l,与曲线C交于A、B两点,O是坐标原点,设,是否存在这样的直线,使四边形OASB的对角线相等?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
解:(1)为PN的中点,且GQ是PN的中垂线.
∴
又
∴点G的轨迹是以M、N为焦点的椭圆,
∴的轨迹方程是……………………………………(5分)
(2)四边形OASB为平行四边形,假设存在直线,使;则四边形OASB为矩形.
若直线的斜率不存在,则的方程为.
,这与=0矛盾,故的斜率存在.………………………(7分)
设直线的方程为、.
………………………(9分)
又………………………(12分)
∴存在直线满足条件. ……………………(13分)
67、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)如图,ABCD是边长为2的正方形纸片,沿某动直线为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折,使得每次翻折后点B都落在边AD上,记为;折痕与AB交于点E,点M满足关系式。若以B为原点,BC所在直线为x轴建立直角坐标系(如下图):
(Ⅰ).求点M的轨迹方程;
(Ⅱ).若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的,等腰梯形的三边分别与曲线S切于点.求梯形面积的最小值.
解:(1)如图,设M(x,y),,又E(0,b)
显然直线l的斜率存在,故不妨设直线l的方程为y=kx+b,,则
而的中点在直线l上,
故,①
由于代入①即得,又
点M的轨迹方程()-------------6分
(2)易知曲线S的方程为
设梯形的面积为,点P的坐标为.
由题意得,点的坐标为,直线的方程为.
直线的方程为
即:
令 得,
令 得,
当且仅当,即时,取“=”且,
时,有最小值为.
梯形的面积的最小值为----------13分
66、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)已知抛物线x2=4y上的点P(非原点)处切线与x、y轴分别交于Q、R点,F为抛物线的焦点。
(Ⅰ)
(Ⅱ)若抛物线上的点面积的最小值,并写出此时过P点的切线方程。
解:(Ⅰ)设
令
。
(Ⅱ)知
=
显然只需考查函数
时,也取得最小值 。
故此时过P点的切线PR的方程为:
65、(湖北省武汉市武昌区2008届高中毕业生元月调研测试)已知圆A:,圆B:,动圆P与圆A、圆B均外切,直线的方程为x=a(a≤).
(Ⅰ) 求动圆P的圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过点B的直线与曲线C交于M、N两点,(1)求|MN|的最小值;(2)若MN的中点R在上的射影Q满足MQ⊥NQ,求的取值范围.
解:(Ⅰ)设动圆P的半径为,则│PA│=,│PB│=,
∴│PA│-│PB│=2.
故点P的轨迹是以A、B为焦点,实轴长为2的双曲线的右支,
其方程为(≥1). ………………………………………3分
(Ⅱ)(1)设MN的方程为,代入双曲线方程,得
.
由,解得. ………………………………………5分
设,则
.
当时,. ………………………………………7分
(2)由(1)知 ,.
由,知.
所以,从而.
由,得. ………………………………………13分
另解:
(1)若MN的斜率存在,设斜率为,则直线MN的方程为,代入双曲线方程,得.
由 解得. …………………………………5分
设,则
=││=6+.
当直线斜率不存在时,=2,得=3,=-3.此时=6.
所以=6. ……………………………………………7分
(2)当MQ⊥NQ时,│RQ│==.①
又==2,即=2 ,
所以│MN│=, 故. ②
将②代入①,得│MN│=2-.
由│MN│=2-,得≤-1. ………………………………………13分
64、(湖北省随州市2008年高三五月模拟)已知方向向量为的直线过点和椭圆的焦点,且椭圆的中心和椭圆的右准线上的点满足:。
⑴求椭圆的方程;
⑵设为椭圆上任一点,过焦点的弦分别为,设,求的值。
63、(湖北省荆州市2008届高中毕业班质量检测)如图,已知为平面上的两个定点,为动点,,且,(是和的交点)
⑴建立适当的平面直角坐标系求出点的轨迹方程;
⑵若点的轨迹上存在两个不同的点,且线段的中垂线与(或的延长线)相交于一点,证明:(为的中点)
解:⑴如图1,以所在的直线为轴,的中垂线为轴,建立平面直角坐标系
由题设
,而
点是以为焦点、长轴长为的椭圆,故点的轨迹方程为 (6分)
⑵如图2,设,,且,
即,又在轨迹上,
即
代入整理得:
, (10分)
≤≤,≤≤,≤≤
,
,即。
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