10. 解：(1)∵点A在圆，

　　 　 …………3分

　　 由椭圆的定义知：|AF₁|+|AF₂|=2a，

　　 　　　　　 ……………5分

　 (2)∵函数

　　 点F₁(－1，0)，F₂(1，0)，　　　　　　　　　　　　　　 ………………6分

　　 ①若，

　　 　　 ……………7分

　　 ②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则AB的方程为y=k(x+1)

　　 由…(*)

　　 方程(*)有两个不同的实根.

　　 设点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则x₁，x₂是方程(*)的两个根

　　 　　　　　　　　　　 ………………9分

　　 　……10分

　　 由①②知 　　　　　　　　　　　　………………12分

9. 解：(I)ABM是边长为2的正三角形，∴圆的半径r=2，

∴M到y轴的距离　　　　　　　　　　　　　　 ……………(2分)

又圆M与x轴相切，∴当∴ ……………(4分)

∴

∴解得a=3或a=－1(舍去)，则

故所求椭圆方程为　　　　　　　　　　　　 ……………(6分)

(II)(方法1)①当直线l垂直于x轴时，把x=1代入，得

解得(舍去)，即　　 ……………(8分)

②当l不垂直x轴时，设，

直线AB的方程为

得

则

得恒成立．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………(10分)

，

由题意得，恒成立．

当不是恒成立的．

当，恒成立．

当恒成立,

，

解得

综上，a的取值范围是　　　　　　　 　　　……………(12分)

(方法2)设

①当直线CD与x轴重合时，有

恒有……………(8分)

②当直线C不与x轴重合时，设直线CD的方程为

整理得

恒为钝角，

则恒成立　　 ……………(10分)

又恒成立，

即恒成立．当时，

解得

综上，a的取值范围是　　 　　　　　　　　　……………(12分)

8. 解：(I)由得，∵直线与圆相切，

∴ ，椭圆方程　　　　　　 ………………(3分)

(II)由得动点M的的轨迹是以直线为准线，以为焦点的抛物线．

∴轨迹的方程是　　　　　　　　　　　　 ………………(6分)

(III)设，，则，，

∴，

∵，∴，

∵，∴，∵，当且仅当，等号成立，　　　　　　 　　　　　　………………(9分)

∵，，

∴当，即时，取得最小值，

∴的取值范围是　　　　　　　　　　　 ………………(12分)

7. 解：(1)当时， ，则

设椭圆方程为，则又，所以

所以椭圆C₂方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………

　 (2)因为，，则，，

设椭圆方程为

由，得　　　　　　　　　 …………

即，得代入抛物线方程得，

即

,，

因为的边长恰好是三个连续的自然数，所以　　　　 …………

此时抛物线方程为，，直线方程为：.

联立，得，即，

所以，代入抛物线方程得，即

∴.

设到直线PQ的距离为 ，

则　　　　　　 …………

当时，，

即面积的最大值为.…………

6. ⑴设椭圆的半焦距为，依题意，解得．

由，得

∴所求椭圆方程为

⑵∵，∴．

设，其坐标满足方程，消去并整理得

_，

_则

_故．

∵_，

∴

∴，经检验满足式．

⑶由已知，，可得

_{将代入椭圆方程，整理得}

∴．

∴

_{当且仅当，即时等号成立．}

_{经检验，满足(*)式．}

_当时，

_{综上可知，}

_{所以，当最大时，的面积取得最大值．}

5. 解(Ⅰ)设椭圆C的方程为，由题意得

　　 解得，故椭圆C的方程为．……………………4分

　 (Ⅱ)因为过点P(2，1)的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可调直线l的议程为

　　 由　　　　　　　　　 得．①

　　 因为直线与椭圆相切，所以

　　 整理，得　　　　　　　 解得

　　 所以直线l方程为

　　 将代入①式，可以解得M点横坐标为1，故切点M坐标为……8分

　 (Ⅲ)若存在直线l₁满足条件，的方程为，代入椭圆C的方程得

　　 因为直线l₁与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为

　　 所以

　　 所以．

　　 又，

　　 因为即，

　　 所以．

　　 即

　　 所以，解得　 因为A，B为不同的两点，所以．

　　 于是存在直线₁满足条件，其方程为………………………………12分

4. 解：(I)设将，根据抛物线定义，，∴，…………(2分)

∵，即，∴，椭圆是 ………(4分)

把代入，得a=2，b=1，椭圆C的方程为；…………(6分)

(II)方法1：，点D为线段AB的中点…………(8分)

设，，∴，

由，得，　　　　　　　　　 …………(10分)

∵，∴，

，∴．　　　　　　　　　 …………(12分)

方法2：，点D为线段AB中点，　 …………(8分)

设，，∴，

由，得，　　　 …………(10分)

∵，∴，，∵，，∴．　　　　　　　　 …………(12分)

方法3：由，得，

令，得，　　 　…………(8分)

设，

，点D为线段AB的中点， 　　　　…………(10分)

设， ，

∵，∴，，∵，，∴．　　　　　　　　 …………(12分)

3. ⑴设椭圆的方程为，由题意可得：

椭圆两焦点坐标分别为，．

∴．

∴，又，，

故椭圆的方程为．

⑵当直线轴，计算得到：，，

，不符合题意．

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：，

由，消去y得．

显然成立，设，，

则，．

又

即，

又圆的半径．

所以，

化简，得，即，解得．

所以，．

故圆的方程为：．

⑵另解：设直线的方程为，

由，消去得，恒成立，

设，，则，．

所以．

又圆的半径为．

所以，解得，

所以．

故圆的方程为：．

2. 解：(Ⅰ)(ⅰ)由已知可得，

则所求椭圆方程.　　　　　…………3分

(ⅱ)由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为，准线方程为，则动圆圆心轨迹方程为.　　 …………6分

　(Ⅱ)当直线MN的斜率不存在时，|MN|=4，

此时PQ的长即为椭圆长轴长，|PQ|=4，

从而.　　　　　　 …………8分

设直线的斜率为，则,直线的方程为：

直线PQ的方程为，

设

由，消去可得

由抛物线定义可知：

…………10分

由，消去得，

从而，　　　　　　 …………12分

∴

令，

∵k>0，则

则

所以　　　　　　　　　　　 …………14分

所以四边形面积的最小值为8.　　　　　　　　　　 …………15分

1. 解：(1)Q为PN的中点且GQ⊥PN

　　 GQ为PN的中垂线|PG|=|GN|　　　　　　　　　　　　

 ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长，半焦距，∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是

　 (2)因为，所以四边形OASB为平行四边形

　　 若存在l使得||=||，则四边形OASB为矩形

　　 若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由

　　 矛盾，故l的斜率存在.

　　 设l的方程为

　　 　 ①

　　 　 ②　

　　 把①、②代入

　　 ∴存在直线使得四边形OASB的对角线相等.