2．设x₁、x₂是区间D上的任意两点，若函数y＝f(x)满足f()≤成立，则称函数y＝f(x)在区间D上下凸．

(1)证明：函数f(x)＝x+在区间(0，+∞)上下凸；

(2)若函数y＝f(x)在区间D上下凸，则对任意的x₁，x₂，…，x_n∈D有f()≤.试根据下凸函数的这一性质，证明：若x₁，x₂，…，x_n∈(0，+∞)，则(x₁+x₂+…+x_n)(++…+)≥n².

证明：(1)设x₁>0，x₂>0，则f()－[f(x₁)+f(x₂)]＝+－(x₁++x₂+)＝－(+)＝＝≤0，

∴f()≤[f(x₁)+f(x₂)]．由定义可知f(x)＝x+在区间(0，+∞)上下凸．

(2)由(1)可知f(x)＝x+在(0，+∞)上下凸，根据性质，有+

≤，∴≤(++…+)，*

∵x₁，x₂，…，x_n∈(0，+∞)，∴x₁+x₂+…+x_n>0，

故*式可化为(x₁+x₂+…+x_n)(++…+)≥n².

1．(2009·全国Ⅱ)设a＝lg e，b＝(lg e)²，c＝lg ，则(　)

A．a＞b＞c　 　　　　　 B．a＞c＞b　 　　 C．c＞a＞b　 　　 D．c＞b＞a

解析：0＜lg e＜1，即0＜a＜1；b＝(lg e)²＝a²＜a；c＝lg ＝lg e＝a＜a，

又b＝(lg e)²＜lg ·lg e＝lg e＝c，因此b＜c＜a.

答案：B

10．设a＞0，且a≠1，P＝log_a(a³－1)，Q＝log_a(a²－1)，试比较P与Q的大小．

解答：∵P＝log_a(a³－1)，Q＝log_a(a²－1)，∴a>0，a³－1>0，a²－1>0，∴a>1.

又∵(a³－1)－(a²－1)＝a²(a－1)>0，∴a³－1>a²－1，∴log_a(a³－1)>log_a(a²－1)．即P>Q.

9．设m∈R，a＞b＞1，f(x)＝，比较f(a)与f(b)的大小．

解答：f(a)－f(b)＝－＝.

∵a＞b＞1，∴b－a＜0，a－1＞0，b－1＞0，∴＜0.

当m＞0时，＜0，f(a)＜f(b)；

当m＜0时，＞0，f(a)＞f(b)；

当m＝0时，＝0，f(a)＝f(b)．

8．设a、b∈(0，+∞)，且a≠b，比较+与a+b的大小．

解答：作差+－(a+b)＝(a³－b³)＝(a+b)(a－b)²(a²+ab+b²)，

∵a、b∈(0，+∞)且a≠b，∴a+b，(a－b)²，(a²+ab+b²)，均为正数．

∴(a+b)(a－b)²(a²+ab+b²)>0，∴+＞a+b.

7．a、b、c、d均为实数，使不等式>>0和ad<bc都成立的一组值(a，b，c，d)是________．(只要写出适合条件的一组值即可)

解析：本题为开放题，只要写出一个正确的即可，如(2,1，－3，－2)．

答案：(2,1，－3，－2)

6．设a＞1且m＝log_a(a²+1)，n＝log_a(a－1)，p＝log_a(2a)，则m、n、p的大小关系为________．

解析：∵a²+1＞2a(a＞1)，∴log_a(a²+1)＞log_a(2a)．

又∵a－1－2a＝－a－1＜0，∴a－1＜2a，∴log_a(a－1)＜log_a2a.∴m＞p＞n.

答案：m＞p＞n

5．下列四个不等式：①a＜0＜b；②b＜a＜0；③b＜0＜a；④0＜b＜a.其中能使＜成立的充分条件有______．

解析：＜⇔＜0⇔b－a与ab异号，①②④能使b－a与ab异号．

答案：①②④

4．已知x＞y＞z，且x+y+z＝0，下列不等式中成立的是(　)

A．xy＞yz　 　　B．xz＞yz　 　C．xy＞xz　 　　D．x|y|＞z|y|

解析：由已知3x＞x+y+z＝0,3z＜x+y+z＝0，∴x＞0，z＜0.由得xy＞xz.

答案：C

3．设a＝sin 15°+cos 15°，b＝sin 16°+cos 16°，则下列各式正确的是(　)

A．a＜＜b　 　　　　 B．a＜b＜

C．b＜a＜　 　　　　 D．b＜＜a

解析：a＝sin 15°+cos 15°＝sin 60°，b＝sin 16°+cos 16°＝sin 61°，∴a＜b，排除C、D两项．又a≠b，∵＞ab＝sin 60°·sin 61°＝sin 61°＞sin 61°＝b，故a＜b＜成立．

答案：B