6. (玉溪一中期中理)(本小题12分)已知函数.

(Ⅰ) 设.试证明在区间 　内是增函数；

(Ⅱ) 若存在唯一实数使得成立，求正整数的值；

(Ⅲ) 若时，恒成立，求正整数的最大值.

证明： (1)　 　

∴ 　, 则 ∴ 在内单调递增　 解：(2) ∵，,∴由(1)可得在内单调递增, 即存在唯一根　　　　 ∴ 　　　　　　　　　　

　解：(3)　 由得且　 恒成立,由(2)知存在唯一实数,

使且当时， ，∴ ，当时，,∴.

　 ∴ 当时,取得最小值　　　　

　 ∵ , ∴ . 于是， ∵ ,

∴ ∴ ,故正整数的最大值为3.　　　　　　　

5. (三明市三校联考)(本小题满分14分)

已知函数。

　(I)求函数的单调区间；

　(Ⅱ)若恒成立，试确定实数k的取值范围；

(Ⅲ)证明：①上恒成立

　 　 ②

解：(I)函数

当时，则上是增函数

当时，若时有

若时有则上是增函数，在上是减函数　　　　　　　　 ……………………(4分)

(Ⅱ)由(I)知，时递增，而不成立，故　

又由(I)知，要使恒成立，

　　 则即可。　 由…………………(8分)

　 (Ⅲ)由(Ⅱ)知，当时有恒成立，且上是减函数，，恒成立，

　　 即上恒成立 。……………………(11分)

令，则，即，从而，

　　 成立……(14分)

4.(本小题满分13分)(安徽两地三校国庆联考)

定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，

求证：f(0)=1；

求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；

(3)证明：f(x)是R上的增函数；

(4)若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。

解 (1)令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1

(2)令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴

由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0

∴又x=0时，f(0)=1>0

∴对任意x∈R，f(x)>0

(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0

　∴

　∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在R上是增函数

(4)f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，

f(x)在R上递增

∴由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0 ∴ 0<x<3

3．(本小题满分12分)(安徽两地三校国庆联考)

已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围.

解：若 , 　,显然在上没有零点, 所以 .

　　　 令 ,　 解得

　　　 ①当 时,　 恰有一个零点在上;

　　　 ②当，即时，在上也恰有一个零点.

　　　 ③当在上有两个零点时, 则

　　　 　　　　或

解得或

综上所求实数的取值范围是　 　或　 　.

2.(本小题满分12分)(安徽两地三校国庆联考)

机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元．

(1)写出y与x之间的函数关系式；

(2)从第几年开始，该机床开始盈利(盈利额为正值)；

(3)使用若干年后，对机床的处理方案有两种：

(Ⅰ)当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；

(Ⅱ)当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．

请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由．

解 (1)依题得：(xN*)

(2)解不等式

∵xN*,∴3≤x≤17，故从第3年开始盈利。　　　　　　　　　　

(3)(Ⅰ)

当且仅当时，即x=7时等号成立．

到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30＝114万元．

(Ⅱ)y=-2x2+40x-98=-(x-10)2+102，当x=10时，ymax=102

故到2011年，盈利额达到最大值，工厂获利102+12＝114万元　　　　　

盈利额达到的最大值相同，而方案Ⅰ所用的时间较短，故方案Ⅰ比较合理．

1．(本题满分14分)已知函数

⑴求函数的周期；

⑵函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？

解：(1)

所以 函数的周期是

(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上每一点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变式)，得函数的图象

8.(昆明一中二次月考理)直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰好通过k(k∈N*)个格点，则称函数f(x)为k阶格点函数。下列函数：

①f(x)=sinx；　 ②f(x)=π(x－1)²+3；　 ③　 ④，

其中是一阶格点函数的有　　　　　　 .

答案：①②④

7．(师大附中理)假设，对于有，计算乘积：=______。

答案：384

6．(师大附中理)已知函数则__________。

答案：0

5．(昆明一中二次月考理)函数则____________．

答案：0