10.(2009重点九校联考)已知指数函数满足:g(2)=4,
定义域为的函数是奇函数。
(1)确定的解析式;
(2)求m,n的值;
(3)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围。
解:(1)
(2)由(1)知:
因为是奇函数,所以=0,即
∴, 又由f(1)= -f(-1)知
(3)由(2)知,
易知在上为减函数。
又因是奇函数,从而不等式:
等价于,
因为减函数,由上式推得:
即对一切有:,
从而判别式
9.(2009上海闸北区)设,其中实常数.
(Ⅰ)求函数的定义域和值域;
(Ⅱ)试研究函数的基本性质,并证明你的结论.
解:(Ⅰ)函数的定义域为
,
当时,因为,所以,
,从而,
所以函数的值域为.
(Ⅱ)假设函数是奇函数,则,对于任意的,有成立,
即
当时,函数是奇函数.当,且时,函数是非奇非偶函数.
对于任意的,且,
当时,函数是递减函数.
8.(2009宣威六中第一次月考)设函数=-0<<1。
(1)求函数的单调区间、极值。
(2)若当时,恒有≤,试确定的取值范围。
解:(1), 令得x=a或x=3a
由表
|
() |
α |
() |
3α |
() |
|
- |
0 |
+ |
0 |
- |
|
递减 |
|
递增 |
b |
递减 |
可知:当时,函数f ()为减函数,当时,函数f()也为减函数:当时,函数f()为增函数。
(2)由≤,得-≤-≤。∵0<<1, ∴+1>2,
=-在[+1,+2]上为减函数。∴[]max =′(+1)=2-1,
[]min=′(+2)=4-4.于是,问题转化为求不等式组的解。
解不等式组,得≤≤1。又0<<1, ∴所求的取值范围是≤≤1。
7.(2009青岛一模)已知函数且,求函数的极大值与极小值.
解:由题设知
令
当时,随的变化,与的变化如下:
|
|
0 |
|
|
|
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
极大 |
|
极小 |
|
,
当时,随的变化,与的变化如下:
|
|
|
|
|
|
|
- |
0 |
+ |
0 |
- |
|
|
极小 |
|
极大 |
|
,
总之,当时,,;
当时,,
6.(2009上海八校联考)某同学在研究函数 时,分别给出下面几个结论:
①等式对恒成立;
②函数的值域为;
③若,则一定有;
④函数在上有三个零点。
其中正确结论的序号有________________。(请将你认为正确的结论的序号都填上)
答案 ①②③
5.(2009上海十四校联考)已知上的函数,且都有下列两式成立:
的值为
答案 1
4.(2009玉溪一中期中)已知定义在上的函数的反函数为,且的反函数恰好为。若,则 .
答案 1991
3.(2009韶关一模)已知函数,若实数是方程的解,且,则的值为
A.恒为正值 B.等于 C.恒为负值 D.不大于
答案 A
2.(2009枣庄一模)如果函数的图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限,那么一定有 ( )
A. B.
C. D.
答案 B
1.(2009宣威六中第一次月考)已知函数在区间上是减函数,那么( B )
A.有最大值 B.有最大值 C.有最小值 D.有最小值
答案 B
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