2.大连二模
20. (本题满分14分)
已知直线与曲线交于两点A、B。
(1)设,当时,求点P的轨迹方程;
(2)是否存在常数a,对任意,都有?如果存在,求出a的值;如果不存在,说明理由。
(3)是否存在常数m,对任意,都有为常数?如果存在,求出m的值;如果不存在,说明理由。
解:(1)设,则
由消去y,得:
依题意有解得:
且,即或且
∴点P的坐标为:消去m,得:
,即
由,得
,解得或
∴点P的轨迹方程为(或)………………5分
(2)假设存在这样的常数a
由消去y得:
解得:
当时,,且方程<2>判别式
∴对任意,A、B两点总存在,故当时,对任意,都有………………10分
(3)假设这样的常数m存在,对任意的,使为一常数M。
即
即
化简,得:
∵a为任意正实数
,即,矛盾。
故这样的常数m不存在。………………14分
1.北京宣武区二模
19 (本题满分14分)
已知点满足:,且已知
(1)求过点的直线的方程;
(2)判断点与直线的位置关系,并证明你的结论;
(3)求点的极限位置。
解:(1)由,得:
显然直线的方程为………………3分
(2)由,得:
∴点,猜想点在直线上,以下用数学归纳法证明:
当n=2时,点
假设当时,点,即
当时,
∴点
综上,点………………8分
(3)由,得:
∴数列是以为首项,公差为1的等差数列
即点的极限位置为点P(0,1)………………14分
3.北京朝阳二模
(19)(本小题满分13分)
如图,已知双曲线C:的右准线与一条渐近线交于点M,F是双曲线C的右焦点,O为坐标原点。
(I)求证:;
(II)若且双曲线C的离心率,求双曲线C的方程;
(III)在(II)的条件下,直线过点A(0,1)与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间,满足,试判断的范围,并用代数方法给出证明。
解:(I)
右准线,渐近线
……3分
(II)
双曲线C的方程为: ……7分
(III)由题意可得 ……8分
证明:设,点
由得
与双曲线C右支交于不同的两点P、Q
……11分
,得
的取值范围是(0,1) ……13分
(20)(本小题满分13分)
已知函数,数列满足
(I)求数列的通项公式;
(II)设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为,求;
(III)在集合,且中,是否存在正整数N,使得不等式对一切恒成立?若存在,则这样的正整数N共有多少个?并求出满足条件的最小的正整数N;若不存在,请说明理由。
(IV)请构造一个与有关的数列,使得存在,并求出这个极限值。
解:(I)
……1分
……
将这n个式子相加,得
……3分
(II)为一直角梯形(时为直角三角形)的面积,该梯形的两底边的长分别为,高为1
……6分
(III)设满足条件的正整数N存在,则
又
均满足条件
它们构成首项为2010,公差为2的等差数列。
设共有m个满足条件的正整数N,则,解得
中满足条件的正整数N存在,共有495个, ……9分
(IV)设,即
则
显然,其极限存在,并且 ……10分
注:(c为非零常数),等都能使存在。
21.(本小题满分14分)
已知数列各项均不为0,其前项和为,且对任意都有(为大于1的常数),记.
(1) 求;
(2) 试比较与的大小();
(3) 求证:,().
解:(1) ∵, ①
∴. ②
②-①,得
,
即. (3分)
在①中令,可得.
∴是首项为,公比为的等比数列,. (4分)
(2) 由(1)可得
.
.
∴, (5分)
.
而,且,
∴,.
∴,(). (8分)
(3) 由(2)知 ,,().
∴当时,.
∴
, (10分)
(当且仅当时取等号).
另一方面,当,时,
.
∵,∴.
∴, (13分)
(当且仅当时取等号).
∴.
(当且仅当时取等号).
综上所述,,().(14分)
20.(本小题满分12分)
如图,直角坐标系中,一直角三角形,,、在轴上且关于原点对称,在边上,,的周长为12.若一双曲线以、为焦点,且经过、两点.
(1) 求双曲线的方程;
(2) 若一过点(为非零常数)的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、,且,问在轴上是否存在定点,使?若存在,求出所有这样定点的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1) 设双曲线的方程为,
则.
由,得,即.
∴ (3分)
解之得,∴.
∴双曲线的方程为. (5分)
(2) 设在轴上存在定点,使.
设直线的方程为,.
由,得.
即 ① (6分)
∵,
,
∴.
即. ② (8分)
把①代入②,得
③ (9分)
把代入并整理得
其中且,即且.
. (10分)
代入③,得
,
化简得 .
当时,上式恒成立.
因此,在轴上存在定点,使. (12分)
2.扬州二模
22.(本小题满分14分)
设函数在上是增函数。
(1) 求正实数的取值范围;
(2) 设,求证:
解:(1)对恒成立,
对恒成立
又 为所求。…………………………4分
(2)取,,
一方面,由(1)知在上是增函数,
即……………………………………8分
另一方面,设函数
∴在上是增函数且在处连续,又
∴当时,
∴ 即
综上所述,………………………………………………14分
1.泉州模拟
21(本小题满分12分)
过抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点,
(1)求点P的轨迹方程;
(2)已知点F(0,1),是否存在实数使得?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由。
解法(一):(1)设
由得:
………………………………3分
直线PA的方程是:即 ①
同理,直线PB的方程是: ②
由①②得:
∴点P的轨迹方程是……………………………………6分
(2)由(1)得:
…………………………10分
所以
故存在=1使得…………………………………………12分
解法(二):(1)∵直线PA、PB与抛物线相切,且
∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0,且
设PA的直线方程是
由得:
即…………………………3分
即直线PA的方程是:
同理可得直线PB的方程是:
由得:
故点P的轨迹方程是……………………………………6分
(2)由(1)得:
………………………………10分
故存在=1使得…………………………………………12分
又MN⊥MQ,所以
直线QN的方程为,又直线PT的方程为……10分
从而得所以
代入(1)可得此即为所求的轨迹方程.………………13分
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