2.(2009·江苏)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.
(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2 ,求直线l的方程.
(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无数多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.
解答:(1)由于直线x=4与圆C1没有交点,则直线l的斜率存在,设直线l的方程为:y=k(x-4),即kx-y-4k=0,圆心C1到直线的距离为d==.由已知条件:d2=1,即=1.整理得48k2+14k=0,解得k=0,或k=-.
所求直线方程为y=0,或7x+24y-28=0.
(2)设点P(a,b)满足条件,设直线l1的方程为y-b=k(x-a),即kx-y+b-ak=0,k≠0,则直线l2的方程为y-b=-(x-a),即x+ky-a-kb=0.根据已知条件得=,去绝对值整理得(a+b-2)k+(a-b-3)=0或(a-b+8)k-(a+b-5)=0,
则或.解得或.
所以满足条件的点P的坐标是或.
1.两个圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0与C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切线有且仅有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
答案: B
10.如图,已知点P到两个定点M(-1,0),N(1,0)的距离的比为,点N到直线PM的距离为1,求直线PN的方程.
解答:设P点坐标为(x,y),根据已知条件可得|PM|∶|PN|=.即=,整理得x2+y2-6x+1=0.①
设PM的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0.
由N到PM的距离为1得=1,解得k=±.
∴y=(x+1),②
或y=-(x+1).③
解①②联立方程组可得或
解①③联立方程组可得 或
∴P点坐标为(2+,+1)、(2-,-1)、(2+,--1)、(2-,1-).
因此所求直线PN的方程为y=x-1或y=-x+1.即x-y-1=0或x+y-1=0.
★选做题
9.已知圆满足①截y轴所得的弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1;③圆心到直线l:x-2y=0的距离为.求该圆的方程.
解答:设所求圆心为P(a,b),半径为r,则圆心到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|,因圆P截y轴得弦长为2,由勾股定理得r2=a2+1,又圆被x轴分成两段圆弧弧长的比为3∶1,∴劣弧所对圆心角90°,故r=b,即r2=2b2,∴2b2-a2=1①
又∵P(a,b)到直线x-2y=0的距离为,
得=,即a-2b=±1.②
解①②组成的方程组得或,于是r2=2b2=2,所以,所求圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2.
8.根据下列条件,求圆的方程:
(1)经过A(6,5)、B(0,1)两点,并且圆心C在直线3x+10y+9=0上;
(2)经过P(-2,4)、Q(3,-1)两点,并且在x轴上截得的弦长等于6.
解答:(1)∵AB的中垂线方程为3x+2y-15=0,
由解得
∴圆心为C(7,-3).又|CB|=,
故所求圆的方程为(x-7)2+(y+3)2=65.
(2)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将P、Q点的坐标分别代入得
又令y=0,得x2+Dx+F=0,③
由|x1-x2|=6有D2-4F=36.④
由①②④解得D=-2,E=-4,F=-8.
或D=-6,E=-8,F=0.
故所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0,或x2+y2-6x-8y=0.
7.圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的方程为________.
解析:由圆的几何意义知圆心坐标为(2,-3),半径r==.
∴圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=5.
答案:(x-2)2+(y+3)2=5
6.过两圆C1:(x-4)2+(y-5)2=10,C2:(x+2)2+(y-7)2=12,交点所在的直线方程为________.
解析:两式相减得12x-4y+10=0,即6x-2y+5=0.
答案:6x-2y+5=0
5.设P为圆x2+y2=1上的动点,则点P到直线3x-4y-10=0距离的最小值为________.
答案:1
4.已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,且与直线3x+4y+4=0相切,则圆C的方程为( )
A.x2+y2-2x-3=0 B.x2+y2+4x=0 C.x2+y2+2x-3=0 D.x2+y2-4x=0
答案:D
3.(2009·合肥调研)过点A(1,-1)、B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( )
A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4
C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4
答案:C
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