2．(2009·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：(x+3)²+(y－1)²＝4和圆C₂：(x－4)²+(y－5)²＝4.

　 (1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C₁截得的弦长为2 ，求直线l的方程．

　 (2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无数多对互相垂直的直线l₁和l₂，它们分别与圆C₁和圆C₂相交，且直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．

　 解答：(1)由于直线x＝4与圆C₁没有交点，则直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，圆心C₁到直线的距离为d＝＝.由已知条件：d²＝1，即＝1.整理得48k²+14k＝0，解得k＝0，或k＝－.

　 所求直线方程为y＝0，或7x+24y－28＝0.

　 (2)设点P(a，b)满足条件，设直线l₁的方程为y－b＝k(x－a)，即kx－y+b－ak＝0，k≠0，则直线l₂的方程为y－b＝－(x－a)，即x+ky－a－kb＝0.根据已知条件得＝，去绝对值整理得(a+b－2)k+(a－b－3)＝0或(a－b+8)k－(a+b－5)＝0，

则或.解得或.

所以满足条件的点P的坐标是或.

1．两个圆C₁：x²+y²+2x+2y－2＝0与C₂：x²+y²－4x－2y+1＝0的公切线有且仅有(　)

　 A．1条　 　　　　　　 B．2条　 　　　　　　　 C．3条　 　　　　 　D．4条

　 答案：　　 B

10．如图，已知点P到两个定点M(－1,0)，N(1,0)的距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程．

　 解答：设P点坐标为(x，y)，根据已知条件可得|PM|∶|PN|＝.即＝，整理得x²+y²－6x+1＝0.①

　 设PM的方程为y＝k(x+1)，即kx－y+k＝0.

　 由N到PM的距离为1得＝1，解得k＝±.

　 ∴y＝(x+1)，②

　 或y＝－(x+1)．③

　 解①②联立方程组可得或

　 解①③联立方程组可得　或

　 ∴P点坐标为(2+，+1)、(2－，－1)、(2+，－－1)、(2－，1－)．

　 因此所求直线PN的方程为y＝x－1或y＝－x+1.即x－y－1＝0或x+y－1＝0.

　 ★选做题

9．已知圆满足①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y＝0的距离为.求该圆的方程．

　 解答：设所求圆心为P(a，b)，半径为r，则圆心到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|，因圆P截y轴得弦长为2，由勾股定理得r²＝a²+1，又圆被x轴分成两段圆弧弧长的比为3∶1，∴劣弧所对圆心角90°，故r＝b，即r²＝2b²，∴2b²－a²＝1①

　 又∵P(a，b)到直线x－2y＝0的距离为，

　 得＝，即a－2b＝±1.②

　 解①②组成的方程组得或，于是r²＝2b²＝2，所以，所求圆的方程为(x+1)²+(y+1)²＝2或(x－1)²+(y－1)²＝2.

8．根据下列条件，求圆的方程：

　 (1)经过A(6,5)、B(0,1)两点，并且圆心C在直线3x+10y+9＝0上；

　 (2)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6.

　 解答：(1)∵AB的中垂线方程为3x+2y－15＝0，

　 由解得

　 ∴圆心为C(7，－3)．又|CB|＝，

　 故所求圆的方程为(x－7)²+(y+3)²＝65.

　 (2)设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F＝0，将P、Q点的坐标分别代入得

　 又令y＝0，得x²+Dx+F＝0，③

　 由|x₁－x₂|＝6有D²－4F＝36.④

　 由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8.

　 或D＝－6，E＝－8，F＝0.

　 故所求圆的方程为x²+y²－2x－4y－8＝0，或x²+y²－6x－8y＝0.

7．圆心在直线x＝2上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为________．

　 解析：由圆的几何意义知圆心坐标为(2，－3)，半径r＝＝.

　 ∴圆的方程为(x－2)²+(y+3)²＝5.

　 答案：(x－2)²+(y+3)²＝5

6．过两圆C₁：(x－4)²+(y－5)²＝10，C₂：(x+2)²+(y－7)²＝12，交点所在的直线方程为________．

　 解析：两式相减得12x－4y+10＝0，即6x－2y+5＝0.

　 答案：6x－2y+5＝0

5．设P为圆x²+y²＝1上的动点，则点P到直线3x－4y－10＝0距离的最小值为________．

　 答案：1

4．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x+4y+4＝0相切，则圆C的方程为(　)

　 A．x²+y²－2x－3＝0　 　　 　B．x²+y²+4x＝0 　　　 C．x²+y²+2x－3＝0　 D．x²+y²－4x＝0

　 答案：D

3．(2009·合肥调研)过点A(1，－1)、B(－1,1)且圆心在直线x+y－2＝0上的圆的方程是(　)

　 A．(x－3)²+(y+1)²＝4 　　　　　　　　　　　　 　B．(x+3)²+(y－1)²＝4

　 C．(x－1)²+(y－1)²＝4 　　　　　　　　　　　　 　D．(x+1)²+(y+1)²＝4

　 答案：C