10．如右图所示，已知圆C₁：x²+y²－2mx－2ny+m²－1＝0和圆

　 　C₂：x²+y²+2x+2y－2＝0交于

　 A、B两点且这两点平分圆C₂的圆周．求圆C₁的圆心C₁的轨迹方程，并求出当圆C₁的半径最小时圆C₁的方程．

　 解答：圆C₁：(x－m)²+(y－n)²＝n²+1，圆C₂：(x+1)²+(y+1)²＝4，而C₁C₂⊥AB且AB为圆C₂直径．

　 ∴|AC₂|＝rc₂＝2，又|AC₁|²＝rc₁²＝1+n²，|AC₂|²＝4，|C₁C₂|²＝(m+1)²+(n+1)².

　 在Rt△AC₂C₁中，由勾股定理，得4+(m+1)²+(n+1)²＝1+n²，∴(m+1)²＝－2(n+2)即为点C₁的轨迹方程．

　 又－2(n+2)≥0，n≤－2，当n＝－2时，m＝－1，

　 rc₁min＝，此时圆C₁的方程为(x+1)²+(y+2)²＝5.

★选做题

9．如右图，已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C：x²+y²＝1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0)．

　 求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．

　 解答：如右图，设M(x，y)，MN切圆于N，则＝λ，即|MN|＝λ|MQ|.又|MN|²＝|MO|²－1＝x²+y²－1，∴|MN|＝，又|MQ|＝，∴＝λ整理得　(λ²－1)(x²+y²)－4λ²x+(1+4λ²)＝0，即为所求的轨迹方程．当λ＝1时，方程化为x＝，表示一条直线；当λ≠1时，方程化为(x－)²+y²＝，它表示圆，圆心为(，0)，半径为.

8．过圆x²+y²＝r²(r＞0)外一点P(x₀，y₀)作圆的两条切线，切点分别为M、N，证明直线MN的方程是x₀x+y₀y＝r².

　 证明：证法一：设M、N的坐标分别为(x₁，y₁)、(x₂，y₂)．∵M、N在圆x²+y²＝r²上，

　 ∴过M、N的切线方程分别是：x₁x+y₁y＝r²，x₂x+y₂y＝r²，又P是两切线公共点，即有：x₁x₀+y₁y₀＝r²，x₂x₀+y₂y₀＝r²，上两式表明点M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)都在二元一次方程x₀x+y₀y＝r²表示的直线上．所以直线MN的方程是x₀x+y₀y＝r².

　 证法二：以OP为直径的圆的方程为：(x－x₀)²+(y－y₀)²＝(x+y)，即x²+y²－x₀x－y₀y＝0，又圆的方程是x²+y²＝r²，两式相减得x₀x+y₀y＝r²，这便是过切点M、N的直线方程．

7．过直线y＝4上任一点作圆x²+y²＝4的切线，则切线长的最小值为________．

　 答案：2

6．如果曲线C：(θ为参数)与直线x+y+a＝0有公共点，那么实数a的取值范围是______．

　 答案：1－≤a≤1+

5．若直线y＝x+k与曲线x＝恰有一个公共点，则k的取值范围是______．

　 解析：利用数形结合法解．

　 答案：k＝－或k∈(－1,1]

4．若直线2x－y+C＝0按向量a＝(1，－1)平移后与圆x²+y²＝5相切，则C的值为(　)

　 A．8或－2　 　B．6或－4 　　C．4或－6　 　D．2或－8

　 答案：　　 A

3．圆x²+y²+2x+4y－3＝0上到直线x+y+1＝0的距离为的点共有(　)

　 A．1个　 　　　　　　　　　 B．2个 　　　　　　　　 　C．3个 　　　　 　D．4个

　 解析：圆的圆心(－1，－2)，半径R＝2，而圆心到直线x+y+1＝0的距离为.

　 答案：C

2．圆心在抛物线y²＝2x上且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是(　)

　 A．x²+y²－x－2y－＝0　 　　　　　 　B．x²+y²+x－2y+1＝0

　 C．x²+y²－x－2y+1＝0 　　　 　D．x²+y²－x－2y+＝0

　 解析：设圆心坐标为(，a)，依题意有+＝|a|，得圆心为(，±1)．

　 答案：D

1．若P(2，－1)为圆(x－1)²+y²＝25的弦AB中点，则直线AB的方程是(　)

　 A．x－y－3＝0　 　　　　 B．2x+y－3＝0 　　

　 C．x+y－1＝0　 　　　　 D．2x－y－5＝0

　 答案：A