3.如图所示的程序框图,如果输入三个实数a,b,c,要求输出这三个数中最大的数,那么在空白的判断框中,应该填入下面四个选项中的( )
A.c>x B.x>c
C.c>b D.b>c
解析:变量x的作用是保留三个数中的最大值,所以第二个条件结构中的判断框内语句为“c>x”,满足“是”,则置换两个变量的数值后,输出x的值结束程序;满足“否”,则直接输出x的值,结束程序.
答案:A
2.已知某算法的流程图如图所示,若将输出的数组(x,y)依次记为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn).则程序结束时,最后一次输出的数组(x,y)是( )
A.(1 004,-2 006) B.(1 005,-2 008)
C.(1 006,-2 010) D.(1 007,-2 012)
解析:按照流程图执行,其流程(循环结束前(判断之前)各变量的数值)如下:
(x,y) |
x |
y |
n |
(1,0) |
2 |
-2 |
3 |
(2,-2) |
3 |
-4 |
5 |
… |
… |
… |
… |
(1
005,-2 008) |
1
006 |
-2 010 |
2
011 |
故可知最后一次输出的数组为(1 005,-2 008).
答案:B
1.如右图所示,程序框图所进行的求和运算是( )
A.1+++…+
B.1+++…+
C.+++…+
D.+++…+
答案:C
2.如图,设抛物线方程为x2=2py(p>0),M为直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.
(1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;
(2)已知当M点的坐标为(2,-2p)时,|AB|=4.求此时抛物线的方程;
解答:(1)证明:由题意设A(x1,),B(x2,),x1<x2,M(x0,-2p).
由x2=2py得y=,得y′=,所以kMA=,kMB=.
因此直线MA的方程为y+2p=(x-x0),直线MB的方程为y+2p=(x-x0).
所以+2p=(x1-x0),①
+2p(x2-x0).②
由①、②得=x1+x2-x0,因此x0=,即2x0=x1+x2.
所以A,M,B三点的横坐标成等差数列.
(2)由(1)知,当x0=2时,将其代入①、②并整理得:x-4x1-4p2=0,x-4x2-4p2=0,
所以x1,x2是方程x2-4x-4p2=0的两根,因此x1+x2=4,x1x2=-4p2,
又kAB===,所以kAB=.
由弦长公式得|AB|== .
又|AB|=4,所以p=1或p=2,因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y.
1.A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB(O为坐标原点).求证:
(1)A,B的横坐标之积为定值;(2)直线AB经过一定点.
证明:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y=2px1,y=2px2,
又∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,∵y·y=4p2x1x2,
将y1y2=-x1x2代入,得xx=4p2x1x2,得知,x1x2≠0,
∴x1x2=4p2,故A,B两点横坐标之积为定值4p2.
(2)∵y-y=(y2+y1)(y2-y1)=2p(x2-x1),x1≠x2.∴=,
∴直线AB的方程为y-y1=(x-x1),
又由x1=,得y=x+y1-·=x+,
由(1)y1y2=-x1x2=-4p2代入,可得y=x-=(x-2p),
所以直线AB过定点(2p,0).
10.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个焦点为F,M为椭圆上的任意一点,|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2,椭圆上存在着以y=x为对称轴的点M1和M2,且|M1M2|=,求椭圆方程.
解答:设所求椭圆的方程为+=1(a>b>0),
M1、M2两点的坐标分别为(x1,y1)、(y1,x1),x1>0,则(a+c)(a-c)=4,即b2=4,且+=1,①
+=1,②
①-②得+=0,
∵x1≠y1,∴(-)(x1+y1)=0,∴y1=-x1,|M1M2|==2x1.
又|M1M2|=,∴x1=.
∴M1点的坐标为(,-)代入方程+=1得+=1,解得a2=5.
因此所求椭圆的方程为+=1.
★ 选做题
9.过抛物线焦点F的直线交抛物线于P、Q两点,PQ的垂直平分线交抛物线的对称轴于R点,求证:|FR|=|PQ|.
证明:证法一:如图设抛物线方程为y2=2px,p>0则直线PQ的方程为y=k(x-),k≠0,设P、Q两点的坐标为(x1,y1),(x2,y2)
由得k2x2-p(k2+2)x+=0,
∴Δ=p2(k2+2)2-4k2=4p2k2+4p2.
且x1+x2=,x1x2=,|PQ|=|x1-x2|=.
由=,得=k(-)=k=.
∴直线PQ垂直平分线的方程为y-=-,
令y=0,得x=p+,∴|FR|=-=.
因此|FR|=|PQ|.
证法二:设P、Q两点坐标为(,y1)、(,y2),由直线PQ过F点可证y1y2=-p2,|PQ|= =,直线PQ的斜率为=.
∴直线PQ垂直平分线方程为y-=-(x-),
令y=0,得x=p+,∴|FR|=(p+)-
==,则|FR|=|PQ|.
证法三:如上图,PQ的中点为M,过P、Q、M分别作PP′、MM′、QQ′垂直于抛物线的准线x=-,连结M′F、M′P,由抛物线的定义得
|MM′|=(|PP′|+|QQ′|)=(|PF|+|QF|)=|PQ|=|MP|,∴∠M′PM=∠PM′M=∠P′PM′.
又|PP′|=|PF|,PM′为△PM′P′与△PM′F的公共边,∴△PM′P′≌△PM′F,则M′F⊥PQ.
又MR⊥PQ,∵M′F∥MR,又MM′∥FR,∴四边形FRMM′为平行四边形.
∴|FR|=|MM′|=|PQ|.
8.已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=,求椭圆方程.
解答:设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n),设P(x1,y1),Q(x2,y2).
由消去y,整理得(m+n)x2+2nx+n-1=0,Δ=4n2-4(m+n)(n-1)>0,
即m+n-mn>0,OP⊥OQ等价于x1x2+y1y2=0,
将y1=x1+1,y2=x2+1代入,整理得2x1x2+(x1+x2)+1=0,
∴-+1=0⇒m+n=2,①
由弦长公式,得2·=()2,将m+n=2代入,得mn=.②
解①②得或
显然满足Δ>0,故所求椭圆的方程为+=1或+=1.
7.倾斜角为的直线交椭圆+y2=1于A、B两点,则线段AB的中点M的轨迹方程是________.
解析:设M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则有+y=1,①
+y=1,②
①-②得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0.③
又直线AB的斜率k=tan==1,∴y1-y2=x1-x2.④
由中点坐标公式得=x,=y,
即x1+x2=2x,y1+y2=2y.⑤
把④⑤代入到③中得x=-4y,∴直线方程为x+4y=0,
由 得x2=.∴x1=-,x2=.
∴点M的轨迹方程为x+4y=0(-<x<).
答案:x+4y=0(-<x<)
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