1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为(　)

A．42　 　　 B．30　 　C．20　 　　 D．12

解析：可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有AA＝12种排法；若两个节目不相邻，则有A＝30种排法．由分类计数原理共有12+30＝42种排法．(或A＝42)

答案：A

2．由n×n个边长为1的小正方形拼成的正方形棋盘中，求由若干个小方格能拼成的所有正方形的数目．

解答：如下图，根据分步计数原理，边长为k(1≤k≤n，k∈N^*)的正方形共有　

(n－k+1)(n－k+1)＝(n－k+1)²(个)；由分类计数原理，图形中所有正方形的数目是n²+(n－1)²+(n－2)²+…+2²+1²＝n(n+1)·(2n+1)(个)．

1．某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花(　)

A．3 360元　 　 B．6 720元　 　　 C．4 320元　 　　 D．8 640元

解析：从01至10中选3个连续的号共有8种选法；

从11至20中选2个连接的号共有9种选法；

从21至30中选1个号有10种选法；从31至36中选一个号有6种选法，由分步计数原理共有8×9×10×6＝4 320(注)，至少需花4 320×2＝8 640(元)．

答案：D

10．如下图所示，三组平行线分别有m、n、k条，在此图形中

(1)共有多少个三角形？

(2)共有多少个平行四边形？

解答：(1)每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一对应的，由分步计数原理知共可构成m·n·k个三角形．

(2)每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的，由分类和分步计数原理知共可构成CC+CC+CC个平行四边形．

9．已知集合A＝{a₁，a₂，a₃，a₄}，B＝{0,1,2,3}，f是从A到B的映射．

(1)若B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个？

(2)若B中的元素0必无原象，这样的f有多少个？

(3)若f满足f(a₁)+f(a₂)+f(a₃)+f(a₄)＝4，这样的f又有多少个？

解答：(1)显然对应是一一对应的，即为a₁找象有4种方法，a₂找象有3种方法，a₃找象有2种方法，a₄找象有1种方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(个)．

(2)0必无原象，1,2,3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法．所以不同的f共有3⁴＝81(个)．

(3)分为如下四类：

第一类，A中每一元素都与1对应，有1种方法；

第二类，A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有C·C＝12种方法；

第三类，A中有两个元素对应2，另两个元素对应0，有C·C＝6种方法；

第四类，A中有一个元素对应1，一个元素对应3，另两个元素与0对应，有C·C＝12种方法．

所以不同的f共有1+12+6+12＝31(个)．

8．海岛上信号站的值班员总用红、黄、白三色各三面旗向附近海域出示旗语，在旗标上纵排挂，可以是一面、两面、三面，那么这样的旗语有多少种？

解答：悬挂一面旗共有3种旗语；

悬挂两面旗共有3×3＝9种旗语；

悬挂三面旗共有3×3×3＝27种旗语．

由分类计数原理，共有3+9+27＝39种旗语．

7．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，大师赛共有________场比赛．

解析：小组赛共有2C场比赛；半决赛和决赛共有2+2＝4场比赛；根据分类计数原理共有2C+4＝16场比赛．

答案：16

6．有8本书，其中有2本相同的数学书，3本相同的语文书，其余3本为不同的书籍，一人去借，且至少借一本的借法有________种．

解析：数学书的本数可以是0,1,2三种；语文书的本数可以是0,1,2,3四种，其余3本书每本都有两种取法，由分步计数原理共有3×4×2×2×2－1＝95种借法．

答案：95

5．(2010·金华一中高三月考)将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设N_i(i＝1,2,3)表示第i行中最大的数，则满足N₁＜N₂＜N₃的所有排列的个数是________．(用数字作答)

解析：由已知数字6一定在第三行，第三行的排法种数为AA＝60；剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为AA＝4，由分步计数原理满足条件的排列个数是240.

答案：240

4．5名应届毕业生报考三所高校，每人报且仅报一所院校，则不同的报名方法的种数是(　)

A．3⁵　 　　　　　 B．5³ 　　　 C．A　 　　　　　 D．C

解析：第n名应届毕业生报考的方法有3种(n＝1,2,3,4,5)，根据分步计数原理不同的报名方法共有3×3×3×3×3＝3⁵(种)．

答案：A