4.过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内 ( )
3.垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边 ( )
2.如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直 ( )
1.一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线平行 ( )
230. 判断题:正确的在括号内打“√”号,不正确的打“×”号
229.如图:在正方体ABCD-EFGH中,M、N、P、Q、R、S分别是AE、EH、EF、CG、BC、CD的中点,求证:平面MNP//平面QRS。 解析:先证明SR//BD,BD//HF,HF//NP, ∴SR//平面MNP,再证RO//平面MNP, 从而证明平面MNP//平面QRS
228. 如图:在正方体ABCD-EFGH中,求证:平面AFH//平面BDG。 解析:易证BD//平面AHF,BG//平面AHF, ∴平面BDG//平面AHF。
227.如图2-24:B为ACD所在平面外一点,M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心, (1)求证:平面MNG//平面ACD; (2)求
解析:(1)要证明平面MNG//平面ACD,由于M、N、G分别 为△ABC、△ABD、△BCD的重心,因此可想到利用重心的性 质找出与平面平行的直线。
证明:连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H。 ∵M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心, 则有: 连结PF、FH、PH有MN∥PF,又PF平面ACD,∴MN∥平面ACD。 同理:MG∥平面ACD,MG∩MN=M, ∴平面MNG∥平面ACD
(2)分析:因为△MNG所在的平面与△ACD所在的平面相互平行,因此,求两三角形的面积之比,实则求这两个三角形的对应边之比。 解:由(1)可知, ∴MG=PH,又PH=AD,∴MG=AD 同理:NG=AC,MN=CD, ∴MNG∽ACD,其相似比为1:3, ∴=1:9
点评:立体几何问题,一般都是化成平面几何问题,所以要重视平面几何。比如重心定理,三角形的三边中线交点叫做三角形有重心,到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。
226. 如图2-23:已知正方体ABCD-A1B1C1D1,求证:平面AB1D1//平面BDC1。
解析:要证明两个平面平行,由面面平行的判定定理知,须在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线
证明:∵ABC1D1,C1D1A1B1,∴AD1//BC1∴AB A1B1, ∴四边形ABC1D1为平行四边形,又AD1平面AB1D1,BC1平面AB1D1,∴BC1//平面AB1D1,同理,BD//平面AB1D1,又BD∩BC1=B, ∴平面AB1D1//平面BDC1。
点评:证面面平行,通常转化为证线面平行,而证线面平行又转化为证线线平行,所以关键是证线线平行。
225.如图2-32:平面EFGH分别平行于CD、AB,E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上,且CD=a,AB=b,CD⊥AB (1)求证:EFGH是矩形
(2)点E在什么位置时,EFGH的面积最大
(1)证明:∵CD//平面EFGH,而平面EFGH∩平面BCD=EF ∴CD//EF,同理HG//CD,∴EF// HG,同理HE//GF, ∴四边形EFGH为平行四边形,由CD//EF,HE// AB, ∴∠HEF为CD和AB所成的角 又∵CD⊥AB,∴HE⊥EF ∴四边形EFGH为矩形 (2)解:由(1)可知在BCD中EF//CD,设DE=m,EB=n
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