数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词(用符号分别记为“ ”与“”来表示)；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。

6．命题是全称命题吗？如果是全称命题，请给予证明，如果不是全称命题，请补充必要的条件，使之成为全称命题。

5．对于下列语句

(1)　　　　 (2)　

(3)　 (4)

其中正确的命题序号是　　　　　　 。(全部填上)

4．下列命题中的假命题是(　　　 )

A．存在实数α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ

B．不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ

C．对任意α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ

D．不存在这样的α和β，使cos(α+β) ≠cosαcosβ－sinαsinβ

3．判断下列命题的真假，其中为真命题的是

A．　　　　　 B．

C．　　　　 D．

2．将“x²+y²≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是(　　 )

A．，都有　　　　 B．，都有

C．，都有　　　 D．，都有

1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为( 　)

A．所有奇数都是质数　　　　　　　　　 B．

C．对每个无理数x，则x²也是无理数　　 D．每个函数都有反函数

要判断一个存在性命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在性命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为假。

要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假。

即全称命题与存在性命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系。

例1判断以下命题的真假：

(1)　 (2)　 (3)　 (4)

分析：(1)真；(2)假；(3)假；(4)真；

例2指出下述推理过程的逻辑上的错误：

第一步：设a=b，则有a²=ab

第二步：等式两边都减去b²，得a²-b²=ab-b²

第三步：因式分解得 (a+b)(a-b)=b(a-b)

第四步：等式两边都除以a-b得，a+b=b

第五步：由a=b代人得，2b=b

第六步：两边都除以b得，2=1

分析：第四步错：因a-b＝0，等式两边不能除以a-b

　　　 第六步错：因b可能为0，两边不能立即除以b，需讨论。

心得：(a+b)(a-b)=b(a-b) a+b=b是存在性命题，不是全称命题，由此得到的结论不可靠。

同理，由2b=b2=1是存在性命题，不是全称命题。

例3判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题，如果是，用量词符号表达出来。

(1)中国的所有江河都注入太平洋；

(2)0不能作除数；

(3)任何一个实数除以1，仍等于这个实数；

(4)每一个向量都有方向；

分析：(1)全称命题，河流x∈{中国的河流}，河流x注入太平洋；

(2)存在性命题，0∈R，0不能作除数；

(3)全称命题， x∈R，；

(4)全称命题，，有方向；

3．含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题。

全称命题的格式：“对M中的所有x，p(x)”的命题，记为:

存在性命题的格式：“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，记为:

注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A，实际上就是英语"any"中的首字母。存在量词就是“存在”、“有”，写成左右反过来的大写字母E，实际上就是英语"exist"中的首字母。存在量词的“否”就是全称量词。