5．两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量

1°e×a = a×e =|a|cosq

2°a^b Û a×b = 0

3°当a与b同向时，a×b = |a||b|；当a与b反向时，a×b = -|a||b|

　特别的a×a = |a|²或

4°cosq =

5°|a×b| ≤ |a||b|

4．向量的数量积的几何意义：

数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积

3．“投影”的概念：作图

定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影

投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0°时投影为 |b|；当q = 180°时投影为 -|b|

2．平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosq叫a与b的数量积，记作a×b，即有a×b = |a||b|cosq，

(0≤θ≤π)并规定0与任何向量的数量积为0

×探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定

(2)两个向量的数量积称为内积，写成a×b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替

(3)在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0因为其中cosq有可能为0

(4)已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bc Þ a=c但是a×b = b×c a = c

　 如右图：a×b = |a||b|cosb = |b||OA|，b×c = |b||c|cosa = |b||OA|

Þ a×b = b×c　 但a ¹ c

　(5)在实数中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c ¹ a(b×c)

　　　　　　　　 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线

1．两个非零向量夹角的概念

已知非零向量a与b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角

说明：(1)当θ＝0时，a与b同向；

(2)当θ＝π时，a与b反向；

(3)当θ＝时，a与b垂直，记a⊥b；

(4)注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0°≤q≤180°

10．力做的功：W = |F|×|s|cosq，q是F与s的夹角

6．线段的定比分点及λ

　 P₁, P₂是直线l上的两点，P是l上不同于P₁, P₂的任一点，存在实数λ，

使 =λ，λ叫做点P分所成的比，有三种情况：

λ>0(内分)　　　 (外分) λ<0 (λ<-1)　　 ( 外分)λ<0　 (-1<λ<0)

7定比分点坐标公式：

若点P₁(x₁,y₁) ，P₂(x₂,y₂)，λ为实数，且＝λ，则点P的坐标为()，我们称λ为点P分所成的比

8点P的位置与λ的范围的关系：

①当λ＞0时，与同向共线，这时称点P为的内分点

②当λ＜0()时，与反向共线，这时称点P为的外分点

9线段定比分点坐标公式的向量形式：

在平面内任取一点O，设＝a，＝b，

可得=

5．∥ (¹)的充要条件是x₁y₂-x₂y₁=0

4．平面向量的坐标运算

若，，

则，，

若，，则

3．平面向量的坐标表示

　 分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得

把叫做向量的(直角)坐标，记作