2．指数式与对数式的互化

1．对数的定义　 　其中 a 与 N

12.设A＝{x|x²－ax+a²－19＝0}，B＝{x|x²－5x+6＝0}，C＝{x|x²+2x－8＝0}.

(1)A∩B＝A∪B，求a的值；

(2)∅ 　A∩B，且A∩C＝∅，求a的值；

(3)A∩B＝A∩C≠∅，求a的值.

解：(1)因为A∩B＝A∪B，所以A＝B，又由对应系数相等可得a＝5和a²－19＝6同时成立，即a＝5.

(2)由于B＝{2,3}，C＝{－4,2}，且∅? A∩B，A∩C＝∅，故只可能3∈A.此时a²－3a－10＝0，即a＝5或a＝－2，

由(1)可知，当a＝5时，A＝B＝{2,3}，

此时A∩C≠∅，与已知矛盾，

所以a＝5舍去，故a＝－2.

(3)由于B＝{2,3}，C＝{－4,2}，且A∩B＝A∩C≠∅，

此时只可能2∈A，即a²－2a－15＝0，

∴a＝5或a＝－3，

由(2)可知a＝5不合题意，故a＝－3.

11.(文)(2009·北京高考)设A是整数集的一个非空子集.对于k∈A，如果k－1∉A，且k+1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”.给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有　　个.　

解析：依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数.故这样的集合共有6个.

答案：6

(理)对任意两个集合M、N，定义：M－N＝{x|x∈M且x∉N}，M*N＝(M－N)∪(N－M)，设M＝{y|y＝x²，x∈R}，N＝{y|y＝3sinx，x∈R}，则M*N＝　　.

解析：依题意有M＝[0，+∞)，N＝[－3,3]，

所以M－N＝(3，+∞)，N－M＝[－3,0)，

故M*N＝(M－N)∪(N－M)＝[－3,0)∪(3，+∞).

答案：[－3,0)∪(3，+∞)

10.设全集U＝A∪B＝{x∈N^*|lgx＜1}.若A∩(∁_UB)＝{m|m＝2n+1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝　　.

解析：∵lgx＜1，∴0＜x＜10.

又∵x∈N^*，∴U＝A∪B＝{1,2,3，…，9}.

又∵A∩(∁_UB)＝{1,3,5,7,9}，

∴B＝{2,4,6,8}.

答案：{2,4,6,8}

9.(2009·江西高考)已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁_UA)∪(∁_UB)中有n个元素.若A∩B非空，则A∩B的元素个数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.mn 　　　　　　B.m+n　　　　　　 C.n－m 　　　　　　　D.m－n

解析：如图，U＝A∪B中有m个元素，∵(∁_UA)∪(∁_UB)＝∁_U(A∩B)中有n个元素，

∴A∩B中有m－n个元素.

答案：D

8.(文)若集合A＝{x|(2x+1)(x－3)＜0}，B＝{x∈N^*|x≤5}，则A∩B是　　　　　　 (　)

A.{1,2,3}　　　 　B.{1,2}　　　　 C.{4,5}　 　　　　　　D.{1,2,3,4,5}

解析：A＝{x|－＜x＜3}，B＝{1,2,3,4,5}，

∴A∩B＝{1,2}.

答案：B

(理)若集合A＝{x||2x－1|<3}，B＝，则A∩B是　　　　　　　　　 (　)

A.

B.{x|2<x<3}

C.

D.

解析：∵A＝{x|－2＜2x＜4}＝{x|－1＜x＜2}，

B＝{x|(2x+1)(x－3)＞0}＝{x|x＞3或x＜－}，

∴A∩B＝{x|－1＜x＜－}.

答案：D

7.(2010·合肥模拟)设集合M＝{x|2x^2－2x<1}，N＝{x|y＝lg(4－x²)}，则　　　　　　 (　)

A.M∪N＝M　 B.(∁_RM)∩N＝R

C.(∁_RM)∩N＝∅　 D.M∩N＝M

解析：依题意，化简得M＝{x|0<x<2}，

N＝{x|－2<x<2}，所以M∩N＝M.

答案：D

6.(2009·山东高考)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a²}.若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为(　)

A.0　 　　　　B.1　　　　 C.2　 　　　　　D.4

解析：∵A∪B＝{0,1,2，a，a²}，

又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a²}＝{4,16}，∴a＝4.

答案：D

5.(2009·江苏高考)已知集合A＝{x|log₂x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，+∞)，其中c＝　　.

解析：A＝{x|0<x≤4}，B＝(－∞，a).

若A⊆B，则a>4.即a的取值范围为(4，+∞)，∴c＝4.

答案：4