42、(广东省韶关市2008届高三第一次调研考试)如图，在三棱拄中，侧面，已知　

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)试在棱(不包含端点上确定一点的位置,使得；

(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,求二面角的平面角的正切值.

证(Ⅰ)因为侧面，故

　在中，

由余弦定理有

　 故有　

　 而　　 　且平面

(Ⅱ)由

从而　 且 故

　不妨设　 ，则，则

又　 则

在中有 　从而(舍负)

故为的中点时，

　法二：以为原点为轴，设，则　　　 由得　 　即

　　　 化简整理得　 　　　或

　　 当时与重合不满足题意

　　 当时为的中点

　　 故为的中点使

　(Ⅲ)取的中点，的中点，的中点，的中点

　连则，连则，连则

　连则，且为矩形，

又　 故为所求二面角的平面角

在中，

法二：由已知， 所以二面角的平面角的大小为向量与的夹角

因为　

故

41、(广东省汕头市澄海区2008年第一学期期末考试)如图，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长AB＝2，侧棱BB₁的长为4，过点B作B₁C的垂线交侧棱CC₁于点E，交B₁C于点F，

(1)求证：A₁C⊥平面BDE；

(2)求A₁B与平面BDE所成角的正弦值。

(3)设F是CC₁上的动点(不包括端点C)，求证：△DBF是锐角三角形。

(1)证明：由正四棱柱性质知A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，A₁A⊥平面ABCD，

所以B₁C、AC分别是A₁C在平面CC₁B₁B、平面ABCD上的射影

∵ B₁C⊥BE, AC⊥BD, ∴A₁C⊥BE , A₁C⊥BD， 　　(2分)

∴ A₁C⊥平面BDE　　 (4分)。 (直接指出根据三垂线定理得“A₁C⊥BE , A₁C⊥BD”而推出结论的不扣分)

(2)解：以DA、DC、DD₁所在直线分别为x、y、z轴，建立坐标系，则，，，∴，　 (6分)

∴　　　　　　 (7分)

设A₁C平面BDE＝K，

由(1)可知，∠A₁BK为A₁B与平面BDE所成角，(8分)

∴　　　 (9分)

(3)证明：设点F的坐标为(0, 2, z)(0<z≤4), 则，

又|DB|=，故△DBF是等腰三角形，要证明它为锐角三角形，只需证明其顶角∠DFB为锐角则可。　　　　　　　 (11分)

　由余弦定理得cos∠DFB=

∴∠DFB为锐角,　　　　　　 (13分)

　即不论点F为CC₁上C点除外的任意一点, △DFB总是锐角三角形.(14分)

说明: 若没有说明三角形为等腰三角形而只证明一个角是锐角,或只证明底角是锐角的“以偏概全”情况应扣2分)

40、(广东省汕头市潮阳一中2008年高三模拟)如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°。

　 (Ⅰ)证明：BD⊥AA₁；

　 (Ⅱ)求二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值；

　 　 (Ⅲ)在直线CC₁上是否存在点P，使BP//平面DA₁C₁？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由。

解：连接BD交AC于O，则BD⊥AC，

连接A₁O

在△AA₁O中，AA₁=2，AO=1，

∠A₁AO=60°

∴A₁O²=AA₁²+AO²－2AA₁·Aocos60°=3

∴AO²+A₁O²=A₁²

∴A₁O⊥AO，由于平面AA₁C₁C⊥

平面ABCD，

所以A₁O⊥底面ABCD

∴以OB、OC、OA₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(－，0，0)，A₁(0，0，)

　 ……………………2分

(Ⅰ)由于

则

∴BD⊥AA₁……………………4分

　 (Ⅱ)由于OB⊥平面AA₁C₁C

∴平面AA₁C₁C的法向量

设⊥平面AA₁D

则

得到……………………6分

所以二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值是……………………8分

(Ⅲ)假设在直线CC₁上存在点P，使BP//平面DA₁C₁

设

则

得……………………9分

设

则设

得到……………………10分

又因为平面DA₁C₁

则·

即点P在C₁C的延长线上且使C₁C=CP……………………12分

法二：在A₁作A₁O⊥AC于点O，由于平面AA₁C_­1C⊥平面

ABCD，由面面垂直的性质定理知，A₁O⊥平面ABCD，

又底面为菱形，所以AC⊥BD

……………………4分

(Ⅱ)在△AA₁O中，A₁A=2，∠A₁AO=60°

∴AO=AA₁·cos60°=1

所以O是AC的中点，由于底面ABCD为菱形，所以

O也是BD中点

由(Ⅰ)可知DO⊥平面AA₁C

过O作OE⊥AA₁于E点，连接OE，则AA₁⊥DE

则∠DEO为二面角D-AA₁-C的平面角

……………………6分

在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°

∴AC=AB=BC=2

∴AO=1，DO=

在Rt△AEO中，OE=OA·sin∠EAO=

DE=

∴cos∠DEO=

∴二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值是……………………8分

(Ⅲ)存在这样的点P

连接B₁C，因为A₁B₁AB_DC

∴四边形A₁B₁CD为平行四边形。

∴A₁D//B₁C

在C₁C的延长线上取点P，使C₁C=CP，连接BP……………………10分

因B_­1­BCC₁，……………………12分

∴BB₁CP

∴四边形BB₁CP为平行四边形

则BP//B₁C

∴BP//A₁D

∴BP//平面DA₁C₁

39、(广东省揭阳市2008年高中毕业班高考调研测试)在三棱锥中，,.

(1)　　　 求三棱锥的体积；

(2)　　　 证明:;

(3)　　　 求异面直线SB和AC所成角的余弦值。

(1)解：∵

∴且,

∴平面------------ ----------------2分

在中， ,

中，

∵,

∴.--------------4分

(2)证法1：由(1)知SA=2, 在中，---6分

∵,∴-------------------8分

证法2：由(1)知平面，∵面，

∴,∵,,∴面

又∵面，∴

(3) 解法1：分别取AB、SA、 BC的中点D、E、F，

连结ED、DF、EF、AF，则,

∴(或其邻补角)就是异面直线SB和AC所成的角----------10分

∵

在中，

∴,

在中，

在△DEF中，由余弦定理得

∴异面直线SB和AC所成的角的余弦值为-------------------------14分

解法2：以点A为坐标原点，AC所在的直线为y轴建立空间直角坐标系如图

则可得点A(0,0,0),C(0,1,0),B

∴

设异面直线SB和AC所成的角为

则

∴异面直线SB和AC所成的角的余弦值为。

38、(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试)如图，P-ABCD是正四棱锥，是正方体，

其中 　

(1)求证：；

(2)求平面PAD与平面所成的锐二面角的余弦值；

(3)求到平面PAD的距离

解法一：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系…………1分

(1)设E是BD的中点，P-ABCD是正四棱锥，∴…………2分

又， ∴　 ∴　 ……………………………3分

∴ ………………………………………………4分

∴ 　　　即………………………………………5分

(2)设平面PAD的法向量是，…………………………………………6分

……………………………………………………7分

∴ 　　取得，………………………………8分

又平面的法向量是…………………………………………9分

∴ 　　　∴…………………10分

(3)　 …………………………………………………………………11分

∴到平面PAD的距离……………………………………14分

解法二：

(1)设AC与BD交点为O，连PO；∵P-ABCD是正四棱锥，∴PO⊥面ABCD，……1分

∴AO为PA在平面ABCD上的射影， 又ABCD为正方形，∴AO⊥BD，…………3分

由三垂线定理知PA⊥BD，而BD∥B₁D₁；∴…………………………5分

(2)由题意知平面PAD与平面所成的锐二面角为二面角A-PD-B；……6分

∵AO⊥面PBD，过O作OE垂直PD于E，连AE，

则由三垂线定理知∠AEO为二面角A-PD-B的平面角；　　 ……………………8分

可以计算得，…………………………………………………………10分

(3)设B₁C₁与BC的中点分别为M、N；则到平面PAD的距离为M到平面PAD的距离；

由V_M-PAD=V_P-ADM求得。

37、(广东省佛山市2008年高三教学质量检测一)如图，在组合体中，是一个长方体，是一个四棱锥．，，点且．

(Ⅰ)证明：；

(Ⅱ)求与平面所成的角的正切值；

(Ⅲ)若，当为何值时，．

(Ⅰ)证明：因为，，所以为等腰直角三角形，所以．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

因为是一个长方体，所以，而，所以，所以．　　　　　　 ……3分

因为垂直于平面内的两条相交直线和，由线面垂直的判定定理，可得．…4分

(Ⅱ)解：过点在平面作于，连接．……5分

因为，所以，所以就是与平面所成的角．……6分

因为，，所以．　　　　 ……7分

所以与平面所成的角的正切值为．　　　　　　　　　 ……8分

(Ⅲ)解：当时，．　　　　　　　　　　　　　　 ……9分

当时，四边形是一个正方形，所以，而，所以，所以．　　　　　　　　　　　　　　　　 ……10分

而，与在同一个平面内，所以．　　　　 ……11分

而，所以，所以．　 　　　　　　　　　　　　　……12分

方法二：(Ⅰ)如图建立空间直角坐标系，设棱长，则有，，，．　　　　　　　　　　　　　　　 ……2分

于是，，，所以，．……3分

所以垂直于平面内的两条相交直线和，由线面垂直的判定定理，可得．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分

(Ⅱ)，所以，而平面的一个法向量为．…5分

所以．　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

所以与平面所成的角的正弦值为．　　　　 　　　　……7分

所以与平面所成的角的正切值为．　　　　　　　　 ……8分

(Ⅲ)，所以，．设平面的法向量为，则有，令，可得平面的一个法向量为．　　　　 ……10分

若要使得，则要，即，解得．…11分

所以当时，．

36、(广东省2008届六校第二次联考)如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形, 底面ABCD, E为PC的中点, PA＝AD＝AB＝1.

(1)证明: ;

(2)证明: ;

(3)求三棱锥BPDC的体积V.

证明:(1)取PD中点Q, 连EQ , AQ , 则 …1分

　 …………………………………………2分

　………………3分

　 ………………………5分

(2) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

. ………………………………………10分

解:(3)　 …………………………………11分

.

35、(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)在棱长AB=AD=2，AA₁=3的长方体AC₁中，点E是平面BCC₁B₁上动点，点F是CD的中点.

　 (Ⅰ)试确定E的位置，使D₁E⊥平面AB₁F；

　 (Ⅱ)求二面角B₁-AF-B的大小.

解：(Ⅰ)以A为原点，AB、AD、AA₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

　　 A(0，0，0)，F_­(1，2，0)，B₁(2，0，3)，D₁(0，2，3)，

　　 设E(2，y，z)，则

　　 　…………4分

由

∴ 为所求　 …………6分

(Ⅱ)当D₁E⊥平面AB₁F时，=(2，－1， ……8分

又分别是平面BEF与平面B₁EF的法向量，　 …………9分

则二面角B₁-AF-B的平面角等于　 …………10分

∵　 …………11分

∴B₁-AF-B的平面角为

34、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)如图，已知四棱锥的底面是正方形，⊥底面，且，点、分别在侧棱、上，且　

(Ⅰ)求证：⊥平面；

(Ⅱ)若，求平面与平面的所成锐二面角的大小　

解：(Ⅰ)因为四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，

则CD⊥侧面PAD　

　　　　　　　　 又

又……………5分

　 (Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系又PA=AD=2，

则有P(0，0，2)，D(0，2，0)　

设则有

同理可得

即得…………………………8分

由

而平面PAB的法向量可为

故所求平面AMN与PAB所成锐二面角的大小为

33、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，底面，为的中点.

　 (Ⅰ)求证：平面平面；

　 (Ⅱ)求直线与平面所成的角；

　 (Ⅲ)求点到平面的距离.

解法一：(Ⅰ)设与交点为，延长交的延长线于点，

则，∴，∴，∴，

又∵，∴，

又∵，∴，

∴，∴

又∵底面，∴，∴平面，

∵平面，∴平面平面…………………………………(4分)

(Ⅱ)连结，过点作于点，

则由(Ⅰ)知平面平面，

且是交线，根据面面垂直的性质，

得平面，从而即

为直线与平面所成的角.

在中，，

在中，

. 所以有，

即直线与平面所成的角为…………………………………(8分)

(Ⅲ)由于，所以可知点到平面的距离等于点到平面的距离的，即. 在中，，

从而点到平面的距离等于………………………………………………(12分)

解法二：如图所示，以点为坐标原点，

直线分别为轴，

建立空间直角坐标系，

则相关点的坐标为

，，，.

(Ⅰ)由于，，　　　　　

，　　　　　

所以，

，

所以，

而，所以平面，∵平面，

∴平面平面……………………………………………………………(4分)

(Ⅱ)设是平面的一个法向量，则，

　 由于，，所以有

，

令，则，即，

再设直线与平面所成的角为，而，

所以，

∴，因此直线与平面所成的角为………………(8分)

(Ⅲ)由(Ⅱ)知是平面的一个法向量，而，

所以点到平面的距离为