12．(2009年商丘质检)如图58所示，L₁和L₂为距离d＝5.0 cm的两平行虚线，L₁上方和L₂下方都是垂直纸面向里的磁感应强度均为B＝0.20 T的匀强磁场，A、B两点都在L₂上．质量m＝1.67×10^－27 kg、电荷量q＝1.60×10^－19 C的质子，从A点以v₀＝5.0×10⁵ m/s的速度与L₂成30°角斜向上射出，经过上方和下方的磁场偏转后正好经过B点，且经过B点时的速度方向也斜向上．求：(结果保留两位有效数字)

(1)质子在磁场中运动的半径．

(2)A、B两点间的最短距离．

(3)质子由A运动到B的最短时间．

解析：(1)由r＝，得r≈2.6 cm

图59

(2)质子经上、下磁场偏转后，速度方向也正好斜向上时的轨迹如图59所示，由几何关系有：

CE＝rsin30°＝1.3 cm

FH＝d－EF＝d－CEtan30°＝4.25 cm

所以AB＝2FHtan60°+2rsin30°＝17.3 cm

(说明：由图可以看出BD∥CP，故AB＝2dtan60°＝17.3 cm)

(3)粒子在磁场中的运动时间为

t＝T+T＝T＝＝3.3×10^－7 s

答案：(1)2.6 cm　(2)17.3 cm　(3)3.3×10^－7 s

11．如图56所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场．左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外；右侧区域为垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度也为B.一个质量为m、电荷量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程．求：

(1)中间磁场区域的宽度d.

(2)带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间t.

解析：(1)带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得

qEL＝mv²

带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律可得

qvB＝m

由以上两式，可得R＝

图57

可见在两磁场区粒子运动半径相同，如图57所示，三段圆弧的圆心组成的三角形△O₁O₂O₃是等边三角形，其边长为2R.所以中间磁场区域的宽度为

d＝Rsin60°＝

(2)在电场中t₁＝＝＝2

在中间磁场中运动时间t₂＝＝

在右侧磁场中运动时间t₃＝T＝

则粒子第一次回到O点的所用时间为

t＝t₁+t₂+t₃＝2+

答案：(1)　(2)2+

图58

10．如图54所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B＝0.60 T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l＝16 cm处，有一个点状的α放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v＝3.0×10⁶ m/s，已知α粒子的比荷＝5.0×10⁷ C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab上被 α粒子打中的区域的长度．

图55

解析：α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R表示轨道半径，有qvB＝m

由此得R＝

代入数值得R＝10 cm

可见，2R>l>R

因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S，由此可知，某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切，则此切点P₁就是α粒子能打中的左侧最远点，为定出P₁点的位置，可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距离为R，以S为圆心、R为半径，作弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，它与ab的交点即为P₁.

NP₁＝

再考虑N的右侧．任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以2R为半径、S为圆心作圆，交ab于N右侧的P₂点，此即右侧能打到的最远点．

由图中几何关系得

NP₂＝

所求长度为P₁P₂＝NP₁+NP₂

代入数值得P₁P₂＝20 cm.

答案：20 cm

图56

9．如图52所示，在NOQ范围内有垂直于纸面向里的匀强磁场Ⅰ，在MOQ范围内有垂直于纸面向外的匀强磁场Ⅱ，M、O、N在一条直线上，∠MOQ＝60°.这两个区域磁场的磁感应强度大小均为B.离子源中的离子(带电荷量为+q，质量为m)通过小孔O₁进入极板间电压为U的加速电场区域(可认为初速度为零)，离子经电场加速后通过小孔O₂射出，从接近O点处进入磁场区域Ⅰ.离子进入磁场的速度垂直于磁场边界MN，也垂直于磁场．不计离子的重力．

(1)当加速电场极板电压U＝U₀，求离子进入磁场中做圆周运动的半径R；

(2)在OQ上有一点P，P点到O点距离为L，当加速电场极板电压U取哪些值，才能保证离子通过P点．

解析：(1)电子在电场中加速时，根据动能定理

U₀q＝mv－0

电子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力

qv₀B＝m

解得R＝.

图53

(2)离子进入磁场时的运动轨迹如图53所示．

由几何关系可知

＝＝R

要保证离子通过P点L＝nR

解得U＝，其中n＝1,2,3，…

答案：(1)R＝

(2)U＝，其中n＝1,2,3，…

图54

8．如图50所示，一个质量为m、电荷量为q的正离子，从A点正对着圆心O以速度v射入半径为R的绝缘圆筒中．圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.要使离子与圆筒内壁碰撞多次后转一圈仍从A点射出，求正离子在磁场中运动的时间t.(设离子与圆筒内壁碰撞时无能量和电荷量损失，不计离子的重力)

图51

解析：由于离子与圆筒内壁碰撞时无能量和电荷量损失，每次碰撞后离子的速度方向都沿半径方向指向圆心，并且离子运动的轨迹是对称的，如图51所示，设离子与圆筒内壁碰撞n次(n≥2)，则每相邻两次碰撞点之间圆弧所对的圆心角为，由几何知识可得：

离子的运动半径r＝Rtan

离子的运动周期T＝

又qvB＝m，θ＝π－

所以离子在磁场中运动的时间为：

t＝T＝(n－1)

＝(n－1)π＝tan

答案：tan(n≥2)

图52

7．如图49所示，一个带正电q的小带电体处于垂直纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为B.若小带电体的质量为m，为了使它对水平绝缘面正好无压力．应该(　)

A．使B的数值增大

B．使磁场以速率v＝向上移动

C．使磁场以速率v＝向右移动

D．使磁场以速率v＝向左移动

解析：为使小球对平面无压力，则应该它受到的洛伦兹力刚好与重力相平衡．磁场不动而只增大B，静止电荷在磁场里不受洛伦兹力，A不可能．磁场向上移动相当于电荷向下运动，受洛伦兹力向右，也不可能与重力平衡，故B也不对．磁场以v向左移动，等同于电荷以速率v向右运动，此时洛伦兹力向上，当qvB＝mg时，带电体对绝缘水平面无压力，则v＝，选项D正确．同理可知选项C错误．

答案：D

图50

6．如图47所示，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场方向垂直纸面向里．许多质量为m、带电荷量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域．不计重力，不计粒子间的相互影响，下图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R＝，哪个图是正确的(　)

解析：

图48

粒子运动方向不确定，即向MN上方各个方向都有运动粒子，但它们的运动半径R＝相同．当粒子进入O点后沿ON方向运动时，刚好完成完整的圆周运动，其中半个圆在O点上方右侧；当粒子进入O点后竖直向上运动时，粒子左偏，刚好完成半个圆周运动，到达左侧M点；其他粒子的轨迹在以上两种轨迹之间，是以O为圆心、2R为半径的圆，M是其最左边的点．

答案：A

图49

5．如图45所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．P为屏上的一小孔，PC与MN垂直．一群质量为m、带电荷量为－q的粒子(不计重力)，以相同的速率v，从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域．粒子入射方向在与磁场B垂直的平面内，且散开在与PC夹角为θ的范围内，则在屏MN上被粒子打中的区域的长度为(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　 D.

图46

解析：能打到的范围中最远点为2R处，其中R为轨迹半径，R＝，最近点为2Rcosθ处，所以总长度L＝2R－2Rcosθ＝.

答案：D

图47

4．如图43所示，长为L的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为L，板不带电．现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　)

A．使粒子的速度v<

B．使粒子的速度v>

C．使粒子的速度v>

D．使粒子的速度<v<

图44

解析：由左手定则判得粒子在磁场中向上偏，做匀速圆周运动．很明显，圆周运动的半径大于某值r₁时粒子可以从极板右边穿出，而半径小于某值r₂时粒子可从极板的左边穿出．现在问题归结为求粒子能在右边穿出时r的最小值r₁以及粒子在左边穿出时r的最大值r₂.在图中44由几何知识得：

粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O点，有：

r＝L²+(r₁－)²

得r₁＝

由于r₁＝

得v₁＝

所以v>时粒子能从右边穿出

粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O′点，有r₂＝

由r₂＝＝

得v₂＝

所以v<时粒子能从左边穿出．

答案：AB

图45

3．如图41所示，MN为两个匀强磁场的分界面，两磁场的磁感应强度大小的关系为B₁＝2B₂.一带电荷量为+q、质量为m的粒子从O点垂直MN进入磁感应强度为B₁的磁场，则经过多长时间它将向下再一次通过O点(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

图42

解析：粒子在磁场中的运动轨迹如图42所示，由周期公式T＝知，粒子从O点进入磁场到再一次通过O点的时间t＝+＝，所以B选项正确．

答案：B

图43