13.(本小题满分14分)
如图,三棱柱中,侧面底面,,
且,O为中点.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)在上是否存在一点,使得平面,若不存在,说明理由;若存在,确定点的位置.
2.(本小题满分12分)
某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下:消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次,并获得相应金额的返券,假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在A区域返券60元;停在B区域返券30元;停在C区域不返券. 例如:消费218元,可转动转盘2次,所获得的返券金额是两次金额之和.
(Ⅰ)若某位顾客消费128元,求返券金额不低于30元的概率;
(Ⅱ)若某位顾客恰好消费280元,并按规则参与了活动,他获得返券的金额记为(元).求随机变量的分布列和数学期望.
1.(本小题满分12分)
已知函数的图象如图所示.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设,求函数的单调递增区间.
22.(本题满分12分)
解:(1)设, ………………3分
是上的增函数,且,
是上的增函数,
,得到;
的取值范围为 …………………5分
(2)由条件得到,
猜想最大整数 ………………………6分
现在证明对任意恒成立,
等价于, ………….8分
设,…………….9分
当时,,当时,, …………………10分
所以对任意的都有, ………………….11分
即对任意恒成立;
所以整数的最大值为2. …………………………….12分
6.(本题满分14分)
解:(1)由|PF1|-|PF2|=2<|F1F2|知,点P的轨迹S是以F1、F2为焦点的双曲线右支.
由c=2,2a=2,∴b2=3.故轨迹S的方程为x2-=1 (x≥1) …….……4分
(2)当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-2),P(x1,y1),Q(x2,y2),与双曲线方程联立消y得
(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0. …………5分
∴ 解得k2>3.…… 7分
|AP|·|BQ|==(2x1-1)(2x2-1)
=[4x1x2-2(x1+x2)+1]=x1x2-+
=-+=+=+>. ………..…………..9分
当斜率不存在时,|AP|·|BQ|=,∴λ的最小值为. ………………10分
此时,|PQ|=6,|MF2|=3,S△PMQ=|MQ|·|PQ|=9. ………………12分
5.(本题满分14分)
解:(1)(与无关) .…………4分
故数列为等差数列,且公差. ……………………5分
(2)由(1)可知,,故………6分
……………………7分
方法一:数学归纳法
(1)当时,,不等式成立, …………8分
(2)假设时不等式成立,
即, ………………………….9分
那么当时,
这说明,当时不等式也成立 …………………………………11分
综上可知,对于,原不等式均成立. ……………………………12分
方法二:均值不等式
……………9分
.
原不等式得证. ……………………12分
3.(本题满分14分)
解:记第名用户选择的应用属于农场、音乐、读书分别为事件,i=1,2,3.由题意知相互独立,相互独立,相互独立,(i,j,k=1,2,3且i,j,k互不相同)相互独立,且.
(1)他们选择的应用互不相同的概率
|
(2)设3位用户选择的应用是QQ读书的人数是,由已知,且=3-,
所以
|
(每求对一个的概率给1分)
故的分布列是
……………………10分
的数学期望是
(或者由,) ……….12分
2.(本题满分12分)
解法1:(1) 是等腰三角形,
又是的中点 , ………..…………1分
又底面 ………………2分
于是平面. ………………3分
又平面 平面平面. …………4分
(2)过点在平面内作于,连接 ………………5分
则由(1)知AB⊥CH, ∴CH⊥平面 ………………6分
于是就是直线与平面所成的角 ………………7分
在中,CD=, ; ………………8分
设,在中, ………………9分
………………10分
,……11分
又,
即直线与平面所成角的取值范围为
. ………………12分
解法2:
(1)以所在的直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,…1分
于是,,,.
从而,即.…2分
同理,…3分
即.又,平面.
又平面.
平面平面. ………………4分
(2)设直线与平面所成的角为,平面的一个
法向量为,则由.
得 ………………6分
可取,又,
于是, ………………10分
,,.又,.
即直线与平面所成角的取值范围为. ………………12分
1.(本题满分12分)
解:(1)∵
. .................................3分
而的最小正周期为,且>0,∴,∴. ...............5分
(2)由(1)得.
若是三角形的内角,则,∴.
令,得,
∴或, ∴或. …………7分
由已知,是△的内角,且,
∴,, ∴. ….…………………8分
又由正弦定理,得. …..…………10分
6.(本小题满分12分)
已知函数(e是自然对数的底数).
(1)若函数上的增函数,求k的取值范围;
(2)若对任意的,求满足条件的最大整数k的值.
华侨中学2010届高三解答题限时训练1答案
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