3．如图所示为马车模型，马车质量为m ，马的拉力F与水平方向成θ角，在拉力F的拉力作用下匀速前进了时间t，则在时间t内拉力、重力、阻力对物体的冲量大小分别为　 (　　 )

A．Ft，0，Ftsinθ

B．Ftcosθ，0，Ftsinθ

C．Ft，mgt，Ftcosθ

D．Ftcosθ，mgt ，Ftcosθ

2．下列关于动量的说法中，正确的是　　　　　　　　　 (　　 )

A．物体的动量改变，其速度大小一定改变

　　　 B．物体的动量改变，其速度方向一定改变

C．物体运动速度的大小不变，其动量一定不变　

D．物体的运动状态改变，其动量一定改变

1．对于力的冲量的说法，正确的是　　　　　　　　 (　　 )

A．力越大，力的冲量就越大

B．作用在物体上的力大，力的冲量也不一定大

C．F₁与其作用时间t₁的乘积F₁t₁等于F₂与其作用时间t₂的乘积F₂t₂，则这两个冲量相同

D．静置于地面的物体受到水平推力F的作用，经时间t物体仍静止，则此推力的冲量为零

4．在F－t图中的冲量：

F－t图上的“面积”表示冲量的大小。

[例11]如果物体所受空气阻力与速度成正比,当以速度v₁竖直上抛后,又以速度v₂返回出发点。这个过程共用了多少时间?

解析：如图所示，作出上升阶段和下降阶段的v-t图线(图中蓝色线所示)，则图线下方的“面积”表示位移大小，即s₁=s₂=h，由于阻力与速度大小成正比，在图中作出f-t图线(图中红色线所示)，则图线下方的面积一定相等，而此“面积”表示上升阶段和下降阶段阻力的冲量，即有I_{f 1}=I_{f 2}，对全过程由动量定理可得mgt=m(v₁+v₂)，解得t=(v₁+v₂)/g

点评：该题是利用物理图象解题的范例，运用物理图象解题形象直观，可以使解题过程大大简化。

[例12]跳伞运动员从2000m高处跳下，开始下落过程未打开降落伞，假设初速度为零，所受空气阻力与下落速度大小成正比，最大降落速度为v_m=50m/s。运动员降落到离地面s=200m高处才打开降落伞，在1s内速度均匀减小到v₁=5.0m/s，然后匀速下落到地面，试求运动员在空中运动的时间。

^{解析：整个过程中，先是变加速运动，接着匀减速，最后匀速运动，作出v-t图线如图(1)所示。由于第一段内作非匀变速直线运动，用常规方法很难求得这1800m位移内的运动时间。考虑动量定理，将第一段的v-t图按比例转化成f-t图，如图(2)所示，则可以巧妙地求得这段时间。}

设变加速下落时间为t₁，

又：mg=kv_m，得　　 所以：

第二段1s内：　　

所以第三段时间

空中的总时间：

3．动量定理的定量计算

利用动量定理解题，必须按照以下几个步骤进行：

(1)明确研究对象和研究过程。研究对象可以是一个物体，也可以是几个物体组成的质点组。质点组内各物体可以是保持相对静止的，也可以是相对运动的。研究过程既可以是全过程，也可以是全过程中的某一阶段。

(2)进行受力分析。只分析研究对象以外的物体施给研究对象的力。所有外力之和为合外力。研究对象内部的相互作用力(内力)会改变系统内某一物体的动量，但不影响系统的总动量，因此不必分析内力。如果在所选定的研究过程中的不同阶段中物体的受力情况不同，就要分别计算它们的冲量，然后求它们的矢量和。

(3)规定正方向。由于力、冲量、速度、动量都是矢量，在一维的情况下，列式前要先规定一个正方向，和这个方向一致的矢量为正，反之为负。

(4)写出研究对象的初、末动量和合外力的冲量(或各外力在各个阶段的冲量的矢量和)。

(5)根据动量定理列式求解。

[例7]质量为m的小球，从沙坑上方自由下落，经过时间t₁到达沙坑表面，又经过时间t₂停在沙坑里。求：

(1)沙对小球的平均阻力F；

(2)小球在沙坑里下落过程所受的总冲量I。

解析：设刚开始下落的位置为A，刚好接触沙的位置为B，在沙中到达的最低点为C。

(1)在下落的全过程对小球用动量定理：重力作用时间为t₁+t₂，而阻力作用时间仅为t₂，以竖直向下为正方向，有：

mg(t₁+t₂)-Ft₂=0，　 解得：

(2)仍然在下落的全过程对小球用动量定理：在t₁时间内只有重力的冲量，在t₂时间内只有总冲量(已包括重力冲量在内)，以竖直向下为正方向，有：

　 　mgt₁-I=0，∴I=mgt₁

点评：这种题本身并不难，也不复杂，但一定要认真审题。要根据题意所要求的冲量将各个外力灵活组合。若本题目给出小球自由下落的高度，可先把高度转换成时间后再用动量定理。当t₁>> t₂时，F>>mg。

[例8] 质量为M的汽车带着质量为m的拖车在平直公路上以加速度a匀加速前进，当速度为v₀时拖车突然与汽车脱钩，到拖车停下瞬间司机才发现。若汽车的牵引力一直未变，车与路面的动摩擦因数为μ，那么拖车刚停下时，汽车的瞬时速度是多大？

解析：以汽车和拖车系统为研究对象，全过程系统受的合外力始终为，该过程经历时间为v₀/μg，末状态拖车的动量为零。全过程对系统用动量定理可得：

点评：这种方法只能用在拖车停下之前。因为拖车停下后，系统受的合外力中少了拖车受到的摩擦力，因此合外力大小不再是。

[例9] 质量为m=1kg的小球由高h₁=0.45m处自由下落，落到水平地面后，反跳的最大高度为h₂=0.2m，从小球下落到反跳到最高点经历的时间为Δt=0.6s，取g=10m/s²。求：小球撞击地面过程中，球对地面的平均压力的大小F。

解析：以小球为研究对象，从开始下落到反跳到最高点的全过程动量变化为零，根据下降、上升高度可知其中下落、上升分别用时t₁=0.3s和t₂=0.2s，因此与地面作用的时间必为t₃=0.1s。由动量定理得：mgΔt-Ft₃=0 ，F=60N

[例10]　 一个质量为m=2kg的物体，在F₁=8N的水平推力作用下，从静止开始沿水平面运动了t₁=5s，然后推力减小为F₂=5N，方向不变，物体又运动了t₂=4s后撤去外力，物体再经 过t₃=6s停下来。试求物体在水平面上所受的摩擦力。

解析：

解法l　 取物体为研究对象，它的运动可明显分为三个过程。设第一、二两过程末的速度分别为v₁和v₂。，物体所受摩擦力为f，规定推力的方向为正方向。根据动量定理对三个过程分别有：

联立上述三式得　

解法2　 规定推力的方向为正方向，在物体运动的整个过程中，物体的初动量p₁=0，末动量p₂=0。据动量定理有

即：　

解得　

点评：遇到涉及力、时间和速度变化的问题时，运用动量定理解答往往比运用牛顿运动定律及运动学规律求解简便。由解法2可知，合理选取研究过程，能简化解题步骤，提高解题速度。本题也可以用牛顿运动定律求解。

2．动量定理的定性应用

[例4] 鸡蛋从同一高度自由下落，第一次落在地板上，鸡蛋被打破；第二次落在泡沫塑料垫上，没有被打破。这是为什么？

解析：两次碰地(或碰塑料垫)瞬间鸡蛋的初速度相同，而末速度都是零也相同，所以两次碰撞过程鸡蛋的动量变化相同。根据Ft=Δp，第一次与地板作用时的接触时间短，作用力大，所以鸡蛋被打破；第二次与泡沫塑料垫作用的接触时间长，作用力小，所以鸡蛋没有被打破。(再说得准确一点应该指出：鸡蛋被打破是因为受到的压强大。鸡蛋和地板相互作用时的接触面积小而作用力大，所以压强大，鸡蛋被打破；鸡蛋和泡沫塑料垫相互作用时的接触面积大而作用力小，所以压强小，鸡蛋未被打破。)

[例5]某同学要把压在木块下的纸抽出来。第一次他将纸迅速抽出，木块几乎不动；第二次他将纸较慢地抽出，木块反而被拉动了。这是为什么？

解析：物体动量的改变不是取决于合力的大小，而是取决于合力冲量的大小。在水平方向上，第一次木块受到的是滑动摩擦力，一般来说大于第二次受到的静摩擦力；但第一次力的作用时间极短，摩擦力的冲量小，因此木块没有明显的动量变化，几乎不动。第二次摩擦力虽然较小，但它的作用时间长，摩擦力的冲量反而大，因此木块会有明显的动量变化。

[例6]　 一粒钢珠从静止状态开始自由下落，然后陷人泥潭中。若把在空中下落的过程称为过程Ⅰ，进人泥潭直到停止的过程称为过程Ⅱ， 则(　　 )

A、过程I中钢珠的动量的改变量等于重力的冲量

B、过程Ⅱ中阻力的冲量的大小等于过程I中重力的冲量的大小

C、I、Ⅱ两个过程中合外力的总冲量等于零

D、过程Ⅱ中钢珠的动量的改变量等于零

解析：根据动量定理可知，在过程I中，钢珠从静止状态自由下落.不计空气阻力，小球所受的合外力即为重力，因此钢珠的动量的改变量等于重力的 冲量，选项A正确；过程I中阻力的冲量的大小等于过程I中重力的冲量的大小与过程Ⅱ中重力的冲量的大小之和，显然B选项不对；在I、Ⅱ两个过程中，钢珠动量的改变量各不为零.且它们大小相等、方向相反，但从整体看，钢珠动量的改变量为零，故合外力的总冲量等于零，故C选项正确，D选项错误。因此，本题的正确选项为A、C。

1．动量定理

物体所受合外力的冲量等于物体的动量变化。既I=Δp

(1)动量定理表明冲量是使物体动量发生变化的原因，冲量是物体动量变化的量度。这里所说的冲量必须是物体所受的合外力的冲量(或者说是物体所受各外力冲量的矢量和)。

(2)动量定理给出了冲量(过程量)和动量变化(状态量)间的互求关系。

(3)现代物理学把力定义为物体动量的变化率：(牛顿第二定律的动量形式)。

(4)动量定理的表达式是矢量式。在一维的情况下，各个矢量必须以同一个规定的方向为正。

点评：要注意区分“合外力的冲量”和“某个力的冲量”，根据动量定理，是“合外力的冲量”等于动量的变化量，而不是“某个力的冲量” 等于动量的变化量。这是在应用动量定理解题时经常出错的地方，要引起注意。

[例3]以初速度v₀平抛出一个质量为m的物体，抛出后t秒内物体的动量变化是多少？

解析：因为合外力就是重力，所以Δp=Ft=mgt

点评：有了动量定理，不论是求合力的冲量还是求物体动量的变化，都有了两种可供选择的等价的方法。本题用冲量求解，比先求末动量，再求初、末动量的矢量差要方便得多。当合外力为恒力时往往用Ft来求较为简单；当合外力为变力时，在高中阶段只能用Δp来求。

2．冲量

按定义，力和力的作用时间的乘积叫做冲量：I=Ft

(1)冲量是描述力的时间积累效应的物理量，是过程量，它与时间相对应。

(2)冲量是矢量，它的方向由力的方向决定(不能说和力的方向相同)。如果力的方向在作用时间内保持不变，那么冲量的方向就和力的方向相同。如果力的方向在不断变化，如绳子拉物体做圆周运动，则绳的拉力在时间t内的冲量，就不能说是力的方向就是冲量的方向。对于方向不断变化的力的冲量，其方向可以通过动量变化的方向间接得出。

(3)高中阶段只要求会用I=Ft计算恒力的冲量。对于变力的冲量，高中阶段只能利用动量定理通过物体的动量变化来求。

(4)要注意的是：冲量和功不同。恒力在一段时间内可能不作功，但一定有冲量。

[例2] 质量为m的小球由高为H的光滑固定斜面顶端无初速滑到底端过程中，重力、弹力、合力的冲量各是多大？

解析：力的作用时间都是，力的大小依次是mg、mgcosα和mgsinα，所以它们的冲量依次是：　

点评：特别要注意，该过程中弹力虽然不做功，但对物体有冲量。

2．动量的变化：

由于动量为矢量，则求解动量的变化时，其运算遵循平行四边形定则。

(1)若初末动量在同一直线上，则在选定正方向的前提下，可化矢量运算为代数运算。

(2)若初末动量不在同一直线上，则运算遵循平行四边形定则。

[例1]一个质量为m=40g的乒乓球自高处落下，以速度=1m/s碰地，竖直向上弹回，碰撞时间极短，离地的速率为=0.5m/s。求在碰撞过程中，乒乓球动量变化为多少？

解析：取竖直向下为正方向，乒乓球的初动量为：

乒乓球的末动量为：

乒乓球动量的变化为：

　　 =

负号表示的方向与所取的正方向相反，即竖直向上。

1．动量

按定义，物体的质量和速度的乘积叫做动量：p=mv

(1)动量是描述物体运动状态的一个状态量，它与时刻相对应。

(2)动量是矢量，它的方向和速度的方向相同。

(3)动量的相对性：由于物体的速度与参考系的选取有关，所以物体的动量也与参考系选取有关，因而动量具有相对性。题中没有特别说明的，一般取地面或相对地面静止的物体为参考系。