0  368983  368991  368997  369001  369007  369009  369013  369019  369021  369027  369033  369037  369039  369043  369049  369051  369057  369061  369063  369067  369069  369073  369075  369077  369078  369079  369081  369082  369083  369085  369087  369091  369093  369097  369099  369103  369109  369111  369117  369121  369123  369127  369133  369139  369141  369147  369151  369153  369159  369163  369169  369177  447090 

72、(江苏省南京市2008届高三第一次调研测试)如图,在四棱锥P-ABCD中,CD//AB , ADAB , AD = DC = AB , BCPC

(1)求证:PABC

(2)试在线段PB上找一点M,使CM // 平面PAD, 并说明理由.

解:(1)连,在四边形ABCD中,

   设

中,

中,

 ………………………3分

  ……………………………………………………5分

…………………………………………7分.

(2)当的中点时,………………8分

   取的中点,连结

  

  …………12分

  ……14分.

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71、(江苏省常州市北郊中学2008届高三第一次模拟检测)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=1,D是BC的中点,点P在平面BCC1B1内,PB1=PC1=

  (1)求证:PA1⊥BC;  (2)求证:PB1//平面AC1D;(3)求

 

解:(1)证明:取B1C1的中点Q,连结A1Q,PQ,

∴B1C1⊥A1Q,B1C1⊥PQ,

∴B1C1⊥平面AP1Q,

∴B1C1⊥PA1

  ∵BC∥B1C1,∴BC⊥PA1.                

  (2)连结BQ,在△PB1C1中,PB1=PC1=,B1C1=2,Q为中点,

∴PQ=1,∴BB1=PQ,

∴BB1∥PQ,∴四边形BB1PQ为平行四边形,

∴PB1∥BQ.

∴BQ∥DC1

∴PB1∥DC1

又∵PB1面AC1D,

∴PB1∥平面AC1D.

(3)=

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70、(吉林省实验中学2008届高三年级第五次模拟考试)如图,正三棱柱中,的中点,

(Ⅰ)求证:∥平面

(Ⅱ)求二面角的大小。

解法一:(Ⅰ)证明:连接

    

  

                          

   。  ……………………3分

∥平面 …………………………5分

(Ⅱ)解:在平面

-- ……………………8分

所以,二面角--的大小为。 ………………12分

解法二:建立空间直角坐标系-,如图,

(Ⅰ)证明:连接连接。设

。 …………………………3分

∥平面…………5分

(Ⅱ)解:

同理,可求得平面。………………9分

设二面角--的大小为

   的大小为。……………………12分

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69、(吉林省吉林市2008届上期末)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=

AC=BC=2,∠C=90°,点D是A1C1的中点.

  (1)求证:BC1//平面AB1D;

  (2)求二面角A1-B1D-A的正切值.

(1)证明:连结A1B交AB1于点O,连结OD

∵点D是A1C1的中点,点O是A1B的中点,∴OD∥BC1 …………………………2分

又∵OD平面A1B1C1,BC1平面A1B1C1

∴BC1∥平面AB1D ………………………………………………………………5分

  (2)过点A1作A1E垂直B1D交B1D延长于点E,连结AE

∵ABC-A1B1C1是直三棱柱  ∴A1A⊥平面A1B1C1

又∵A1E⊥B1D  ∴AE⊥B1D  ∴∠AEA1是二面角A-B1D-A1的平面角 ………9分

 …………………………………………………………12分

解法二:利用空间向量法(略)

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68、(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)如图,已知平行六面体的底面为正方形,分别为上、下底面中心,且在底面上的射影为

  (1)求证:平面平面

  (2)若点分别在棱上,且,问点在何处时,

  (3)若,求二面角的大小.

解法一:(1)证明: 建立空间直角坐标系如图所示,设地面正方形的边长为a,

      则

      由 ,得   平面

      又平面,  平面平面   …………………4分

   (2) 由(1)及

    得

    设,则

    

        

        …………… 8分

(3)由  从而

    设 是平面的一个法向量, 则  

     又  平面的一个法向量为

        所求二面角的大小为   ………12分

  解法二:用欧氏几何推证的方法也可以解决。(略)

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67、(湖南省岳阳市2008届高三第一次模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,NPB中点,截面DANPCM.

     (Ⅰ)求PB与平面ABCD所成角的大小;

     (Ⅱ)求证:PB⊥平面ADMN

     (Ⅲ)求以AD为棱,PADADMN为面的二面角的大小.

解:解法一:(I)取AD中点O,连结POBO.

     △PAD是正三角形,所以POAD

     又因为平面PAD⊥平面ABCD

     所以PO⊥平面ABCD

     BOPB在平面ABCD上的射影,                             

     所以∠PBOPB与平面ABCD所成的角

     由已知△ABD为等边三角形,所以POBO

     所以PB与平面ABCD所成的角为45°.

  (Ⅱ)△ABD是正三角形,所以ADBO,所以ADPB

     又,PAAB=2,NPB中点,所以ANPB

     所以PB⊥平面ADMN.

  (Ⅲ)连结ON,因为PB⊥平面ADMN,所以ONPO在平面ADMN上的射影,

     因为ADPO,所以ADNO

     故∠PON为所求二面角的平面角.

     因为△POB为等腰直角三角形,N为斜边中点,所以∠PON=45°,

     即所求二面角的大小为45°

解法二:(Ⅰ)同解法一

(Ⅱ)因为PO⊥平面ABCD

所以POBO,△ABD是正三角形,所以ADBO

O为原点建立如图所示的空间直角坐标系,

由已知O(0,0,0),B(0,,0,),P(0,0,),A(1,0,0),D(-1,0,0),N(0,),

所以

所以

所以ADPBANPB,所以PB⊥平面ADMN

(Ⅲ)因为ADPBADBO,所以AD⊥平面POB, 所以ONAD

POAD,所以故∠PON为所求二面角的平面角.

因为

设所求二面角为,则

所以=45°,即所求二面角的大小为45°.

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66、(湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考)如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2,ABC=60°,平面AA1C1C⊥平面ABCDA1AC=60°。

(Ⅰ)证明:BDAA1

(Ⅱ)求二面角D-A1A-C的平面角的余弦值;

  (Ⅲ)在直线CC1上是否存在点P,使BP//平面DA1C1?若存在,求出点P的位置;若不存在,说明理由。

解:连接BD交AC于O,则BD⊥AC,

连接A1O

在△AA1O中,AA1=2,AO=1,

∠A1AO=60°

∴A1O2=AA12+AO2-2AA1·Aocos60°=3

∴AO2+A1O2=A12

∴A1O⊥AO,由于平面AA1C1C⊥

平面ABCD,

所以A1O⊥底面ABCD

∴以OB、OC、OA1所在直线为x轴、

y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系,

则A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(-,0,0),A1(0,0,)

……2分

(Ⅰ)由于

∴BD⊥AA1                                      ……………………4分

  (Ⅱ)由于OB⊥平面AA1C1C

∴平面AA1C1C的法向量

⊥平面AA1D

得到              ……………………6分

所以二面角D-A1A-C的平面角的余弦值是          ……………………8分

(Ⅲ)假设在直线CC1上存在点P,使BP//平面DA1C1

            ……………………9分

得到           ……………………10分

又因为平面DA1C1

·

即点P在C1C的延长线上且使C1C=CP             ……………………12分

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65、(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)在直三棱柱中,A1A=AB=3,AC=3,

、Q分别为棱BB1、CC1上的点,且

.

(1)求平面APQ与面ABC所成的锐二面角的大小.

(2)在线段A1B(不包括两端点)上是否存在一点M,使AM+MC1最小?

若存在,求出最小值;若不存在,说明理由.

解:(1)建立如图所示空间直角坐标系A

A(0,0,0),P(3,0,),Q(0,3,2).

设平面APQ的一个法向量为

,则

平面ABC的一个法向量

∴平面APQ与面ABC所成的锐角大小为45°.…………………………………………(6分)

(1)问也用传统方法求解.(并参照计分)

(2)沿A1B将面A1BC1与面A1BA展开,连结AC1与A1B交于点M,此时AM+MC1有最小值.

又C1A1⊥面ABB1A1,∴C1A1⊥A1B.

∴△AA1C1中,∠AA1C1=135°

AC1=

∴存在点M,使AM+AC1取最小值为………………………………………(12分)

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64、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)已知在四棱锥P一ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,E、F分别是AB、PD的中点.

  (Ⅰ)求证:AF∥平面PEC;

  (Ⅱ)求PC与平面ABCD所成角的大小;

  (Ⅲ)求二面角P一EC一D的大小.

解:(Ⅰ)取PC的中点O,连结OF、

 OE.∴FO∥DC,且FO=DC

∴FO∥AE ……………………2分

又E是AB的中点.且AB=DC.∴FO=AE.

∴四边形AEOF是平行四边形.∴AF∥OE

又OE平面PEC,AF平面PEC

∴AF∥平面PEC

(Ⅱ)连结AC

∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA是直线PC与平

面ABCD所成的角……………………6分

在Rt△PAC中,

即直线PC与平面ABCD所成的角大小为 ……………………9分

(Ⅲ)作AM⊥CE,交CE的延长线于M.连结PM,由三垂线定理.得PM⊥CE

∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角.  ……………………11分

由△AME∽△CBE,可得,∴

∴二面角P一EC一D的大小为 ……………………13分

解法二:以A为原点,如图建立直角坐标系,

则A(0.0,0),B(2,0,0),C(2,l,0),

D(0,1,0),F(0,),E(1,0,0),

P(0,0,1)

(Ⅰ)取PC的中点O,连结OE,则O(1,),

  ……………………5分

又OE平面PEC,AF平面PEC,∴AF∥平面PEC ………………… 6分

(Ⅱ)由题意可得,平面ABCD的法向量

即直线PC与平面ABCD所成的角大小为 …………9分

(Ⅲ)设平面PEC的法向量为

,可得,令,则  ……11分

由(2)可得平面ABCD的法向量是

∴二面角P一EC一D的大小为 ……………………13分

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63、(湖北省武汉市武昌区2008届高中毕业生元月调研测试)如图,四棱锥的底面是边长为的菱形,,平面,

.

(Ⅰ)求直线PB与平面PDC所成的角的正切值;

(Ⅱ)求二面角A-PB-D的大小.

解:(Ⅰ)取DC的中点E.

∵ABCD是边长为的菱形,,∴BE⊥CD.

平面, BE平面,∴ BE.

∴BE⊥平面PDC.∠BPE为求直线PB与平面PDC所成的角.  ……………………3分

∵BE=,PE=,∴==.  ……………………………6分

(Ⅱ)连接AC、BD交于点O,因为ABCD是菱形,所以AO⊥BD.

平面, AO平面

PD. ∴AO⊥平面PDB.

作OF⊥PB于F,连接AF,则AF⊥PB.

故∠AFO就是二面角A-PB-D的平面角.       ……………………………9分

∵AO=,OF=,∴=.

=.              ……………………………12分

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