72、(江苏省南京市2008届高三第一次调研测试)如图,在四棱锥P-ABCD中,CD//AB , AD⊥AB , AD = DC = AB , BC⊥PC.
(1)求证:PA⊥BC ;
(2)试在线段PB上找一点M,使CM // 平面PAD, 并说明理由.
解:(1)连,在四边形ABCD中,
.
设,
.
在
中,
,
在中,
.
,
………………………3分
又,
……………………………………………………5分
…………………………………………7分.
(2)当为
的中点时,
………………8分
取的中点
,连结
则
.
,
…………12分
,
,
……14分.
71、(江苏省常州市北郊中学2008届高三第一次模拟检测)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=1,D是BC的中点,点P在平面BCC1B1内,PB1=PC1=
(1)求证:PA1⊥BC; (2)求证:PB1//平面AC1D;(3)求
解:(1)证明:取B1C1的中点Q,连结A1Q,PQ,
∴B1C1⊥A1Q,B1C1⊥PQ,
∴B1C1⊥平面AP1Q,
∴B1C1⊥PA1,
∵BC∥B1C1,∴BC⊥PA1.
(2)连结BQ,在△PB1C1中,PB1=PC1=,B1C1=2,Q为中点,
∴PQ=1,∴BB1=PQ,
∴BB1∥PQ,∴四边形BB1PQ为平行四边形,
∴PB1∥BQ.
∴BQ∥DC1,
∴PB1∥DC1,
又∵PB1面AC1D,
∴PB1∥平面AC1D.
(3)=
70、(吉林省实验中学2008届高三年级第五次模拟考试)如图,正三棱柱
中,
是
的中点,
(Ⅰ)求证:∥平面
;
(Ⅱ)求二面角的大小。
解法一:(Ⅰ)证明:连接
∥
。 ……………………3分
∥平面
…………………………5分
(Ⅱ)解:在平面
-
-
……………………8分
设。
在
所以,二面角-
-
的大小为
。
………………12分
解法二:建立空间直角坐标系-
,如图,
(Ⅰ)证明:连接连接
。设
则
∥
。
…………………………3分
∥平面
…………5分
(Ⅱ)解:
设
故
同理,可求得平面。………………9分
设二面角-
-
的大小为
的大小为
。……………………12分
69、(吉林省吉林市2008届上期末)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,
AC=BC=2,∠C=90°,点D是A1C1的中点.
(1)求证:BC1//平面AB1D;
(2)求二面角A1-B1D-A的正切值.
(1)证明:连结A1B交AB1于点O,连结OD
∵点D是A1C1的中点,点O是A1B的中点,∴OD∥BC1 …………………………2分
又∵OD平面A1B1C1,BC1
平面A1B1C1
∴BC1∥平面AB1D ………………………………………………………………5分
(2)过点A1作A1E垂直B1D交B1D延长于点E,连结AE
∵ABC-A1B1C1是直三棱柱 ∴A1A⊥平面A1B1C1
又∵A1E⊥B1D ∴AE⊥B1D ∴∠AEA1是二面角A-B1D-A1的平面角 ………9分
…………………………………………………………12分
解法二:利用空间向量法(略)
68、(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)如图,已知平行六面体的底面为正方形,
分别为上、下底面中心,且
在底面
上的射影为
,
(1)求证:平面平面
;
(2)若点
、
分别在棱
、
上,且
,问点
在何处时,
?
(3)若,求二面角
的大小.
解法一:(1)证明: 建立空间直角坐标系如图所示,设地面正方形的边长为a,,
则 ,
由 ,得
平面
又
平面
,
平面
平面
…………………4分
(2) 由(1)及,
得
设,则
,
由
…………… 8分
(3)由,
从而
,
设
是平面
的一个法向量,
则
又 平面的一个法向量为
所求二面角的大小为
………12分
解法二:用欧氏几何推证的方法也可以解决。(略)
67、(湖南省岳阳市2008届高三第一次模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,N是PB中点,截面DAN交PC于M.
(Ⅰ)求PB与平面ABCD所成角的大小;
(Ⅱ)求证:PB⊥平面ADMN;
(Ⅲ)求以AD为棱,PAD与ADMN为面的二面角的大小.
解:解法一:(I)取AD中点O,连结PO,BO.
△PAD是正三角形,所以PO⊥AD,
又因为平面PAD⊥平面ABCD,
所以PO⊥平面ABCD,
BO为PB在平面ABCD上的射影,
所以∠PBO为PB与平面ABCD所成的角
由已知△ABD为等边三角形,所以PO=BO=,
所以PB与平面ABCD所成的角为45°.
(Ⅱ)△ABD是正三角形,所以AD⊥BO,所以AD⊥PB,
又,PA=AB=2,N为PB中点,所以AN⊥PB,
所以PB⊥平面ADMN.
(Ⅲ)连结ON,因为PB⊥平面ADMN,所以ON为PO在平面ADMN上的射影,
因为AD⊥PO,所以AD⊥NO,
故∠PON为所求二面角的平面角.
因为△POB为等腰直角三角形,N为斜边中点,所以∠PON=45°,
即所求二面角的大小为45°
解法二:(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)因为PO⊥平面ABCD,
所以PO⊥BO,△ABD是正三角形,所以AD⊥BO,
以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
由已知O(0,0,0),B(0,
,0,),P(0,0,
),A(1,0,0),D(-1,0,0),N(0,
),
所以
,
所以,
所以AD⊥PB,AN⊥PB,所以PB⊥平面ADMN,
(Ⅲ)因为AD⊥PB,AD⊥BO,所以AD⊥平面POB, 所以ON⊥AD,
又PO⊥AD,所以故∠PON为所求二面角的平面角.
因为
设所求二面角为,则
,
所以=45°,即所求二面角的大小为45°.
66、(湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考)如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2,∠ABC=60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD,∠A1AC=60°。
(Ⅰ)证明:BD⊥AA1;
(Ⅱ)求二面角D-A1A-C的平面角的余弦值;
(Ⅲ)在直线CC1上是否存在点P,使BP//平面DA1C1?若存在,求出点P的位置;若不存在,说明理由。
解:连接BD交AC于O,则BD⊥AC,
连接A1O
在△AA1O中,AA1=2,AO=1,
∠A1AO=60°
∴A1O2=AA12+AO2-2AA1·Aocos60°=3
∴AO2+A1O2=A12
∴A1O⊥AO,由于平面AA1C1C⊥
平面ABCD,
所以A1O⊥底面ABCD
∴以OB、OC、OA1所在直线为x轴、
y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系,
则A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(-
,0,0),A1(0,0,
)
……2分
(Ⅰ)由于
则
∴BD⊥AA1 ……………………4分
(Ⅱ)由于OB⊥平面AA1C1C
∴平面AA1C1C的法向量
设⊥平面AA1D
则
得到
……………………6分
所以二面角D-A1A-C的平面角的余弦值是
……………………8分
(Ⅲ)假设在直线CC1上存在点P,使BP//平面DA1C1
设
则
得
……………………9分
设
则设
得到
……………………10分
又因为平面DA1C1
则·
即点P在C1C的延长线上且使C1C=CP ……………………12分
65、(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)在直三棱柱
中,A1A=AB=3
,AC=3,
、Q分别为棱BB1、CC1上的点,且
.
(1)求平面APQ与面ABC所成的锐二面角的大小.
(2)在线段A1B(不包括两端点)上是否存在一点M,使AM+MC1最小?
若存在,求出最小值;若不存在,说明理由.
解:(1)建立如图所示空间直角坐标系A
A(0,0,0),P(3,0,
),Q(0,3,2
).
设平面APQ的一个法向量为
令
,则
平面ABC的一个法向量
∴平面APQ与面ABC所成的锐角大小为45°.…………………………………………(6分)
(1)问也用传统方法求解.(并参照计分)
(2)沿A1B将面A1BC1与面A1BA展开,连结AC1与A1B交于点M,此时AM+MC1有最小值.
∵又C1A1⊥面ABB1A1,∴C1A1⊥A1B.
∴△AA1C1中,∠AA1C1=135°
AC1=
∴存在点M,使AM+AC1取最小值为………………………………………(12分)
64、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)已知在四棱锥P一ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,E、F分别是AB、PD的中点.
(Ⅰ)求证:AF∥平面PEC;
(Ⅱ)求PC与平面ABCD所成角的大小;
(Ⅲ)求二面角P一EC一D的大小.
解:(Ⅰ)取PC的中点O,连结OF、
OE.∴FO∥DC,且FO=DC
∴FO∥AE ……………………2分
又E是AB的中点.且AB=DC.∴FO=AE.
∴四边形AEOF是平行四边形.∴AF∥OE
又OE平面PEC,AF
平面PEC
∴AF∥平面PEC
(Ⅱ)连结AC
∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA是直线PC与平
面ABCD所成的角……………………6分
在Rt△PAC中,
即直线PC与平面ABCD所成的角大小为 ……………………9分
(Ⅲ)作AM⊥CE,交CE的延长线于M.连结PM,由三垂线定理.得PM⊥CE
∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角. ……………………11分
由△AME∽△CBE,可得,∴
∴二面角P一EC一D的大小为 ……………………13分
解法二:以A为原点,如图建立直角坐标系,
则A(0.0,0),B(2,0,0),C(2,l,0),
D(0,1,0),F(0,,
),E(1,0,0),
P(0,0,1)
(Ⅰ)取PC的中点O,连结OE,则O(1,,
),
∴
……………………5分
又OE平面PEC,AF
平面PEC,∴AF∥平面PEC ………………… 6分
(Ⅱ)由题意可得,平面ABCD的法向量
即直线PC与平面ABCD所成的角大小为 …………9分
(Ⅲ)设平面PEC的法向量为
则,可得
,令
,则
……11分
由(2)可得平面ABCD的法向量是
∴二面角P一EC一D的大小为 ……………………13分
63、(湖北省武汉市武昌区2008届高中毕业生元月调研测试)如图,四棱锥
的底面是边长为
的菱形,
,
平面
,
.
(Ⅰ)求直线PB与平面PDC所成的角的正切值;
(Ⅱ)求二面角A-PB-D的大小.
解:(Ⅰ)取DC的中点E.
∵ABCD是边长为的菱形,
,∴BE⊥CD.
∵平面
, BE
平面
,∴
BE.
∴BE⊥平面PDC.∠BPE为求直线PB与平面PDC所成的角. ……………………3分
∵BE=,PE=
,∴
=
=
. ……………………………6分
(Ⅱ)连接AC、BD交于点O,因为ABCD是菱形,所以AO⊥BD.
∵平面
, AO
平面
,
∴ PD. ∴AO⊥平面PDB.
作OF⊥PB于F,连接AF,则AF⊥PB.
故∠AFO就是二面角A-PB-D的平面角. ……………………………9分
∵AO=,OF=
,∴
=
.
∴=
.
……………………………12分
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