22．(14分)(1)求证：kC＝nC；

(2)等比数列{a_n}中，a_n>0，化简：

A＝lga₁－Clga₂+Clga₃－…+(－1)ⁿClga_n+1.

解：(1)∵左式＝k·＝

＝n·＝nC＝右式，

∴kC＝nC.

(2)由已知：a_n＝a₁q^n－1，

∴A＝lga₁－C(lga₁+lgq)+C(lga₁+2lgq)－C(lga₁+3lgq)+…+(－1)ⁿC(lga₁+nlgq)

＝lga₁[1－C+C－…+(－1)ⁿC]－lgq[C－2C+3C－…+(－1)^n－1C·n]＝lga₁·(1－1)ⁿ－lgq[nC－nC+nC－…+(－1)^n－1·nC]

＝0－nlgq[C－C+C－…+(－1)^n－1·C]

＝－nlgq(1－1)^n－1＝0.

21．(12分)已知(－)ⁿ的展开式的各项系数之和等于(4－)⁵的展开式中的常数项，求：

(1)(－)ⁿ展开式的二项式系数和；

(2)(－)ⁿ的展开式中a^－1项的二项式系数．

解：依题意，令a＝1，得(－)ⁿ展开式中各项系数和为(3－1)ⁿ＝2ⁿ，(4－)⁵展开式中的通项为T_r+1＝C(4)^5－r(－)^r＝(－1)^rC4^5－r5－b.

若T_r+1为常数项，则＝0，即r＝2，

故常数项为T₃＝(－1)²C·4³·5^－1＝2⁷，

于是有2ⁿ＝2⁷，得n＝7.

(1)(－)ⁿ展开式的二项式系数和为

2ⁿ＝2⁷＝128.

(2)(－)⁷的通项为

T′_r+1＝C()^7－r·(－)^r＝C(－1)^r·3^7－r·a，

令＝－1，得r＝3，

∴所求a^－1项的二项式系数为C＝35.

20．(12分)平面上有n个点，无三点共线，过其中每两点作直线，这些直线中无两条直线平行，且除原n个点外无三线共点，问除平面上原有n个点之外，这些直线还会有多少个新交点？

解：(图形法)先从n个点中选4点，有C种选法．如图1，设所选点为A、B、C、D.因为在每选出的4点中，两点一组分成两组，每两点确定一条直线，两条直线相交就有符合题意的一个交点，所以A、B、C、D四点两两连线，可得3个新增交点．故符合题意的交点个数为3C＝n(n－1)(n－2)(n－3)．

图1

19．(12分)若(1+2x)¹⁰⁰＝a₀+a₁(x－1)+a₂·(x－1)²+…+a₁₀₀(x－1)¹⁰⁰，求a₁+a₃+a₅+…+a₉₉.

解：令x－1＝t，则x＝t+1，于是已知恒等式可变为(2t+3)¹⁰⁰＝a₀+a₁t+a₂t²+…+a₁₀₀t¹⁰⁰，

又令f(t)＝(2t+3)¹⁰⁰，

则a₁+a₃+a₅+…+a₉₉＝[f(1)－f(－1)]

＝[(2+3)¹⁰⁰－(－2+3)¹⁰⁰]＝(5¹⁰⁰－1)．

18．(12分)有5张卡片的正反面分别写有0与1、2与3、4与5、6与7、8与9，将其中任三张并排组成三位数，可组成多少个数字不重复的三位数？

解：解法1：(直接法)由于三位数的百位数字不能为0，所以分两种情况：当百位数字为1时，不同的三位数有A·A＝48个；当百位数为2、3、4、5、6、7、8、9中的任意一个时，不同的三位数有AAA＝8×8×6＝384个．综上，共可组成不重复的三位数48+384＝432个．

解法2：(间接法)任取3张卡片共有C·C·C·C·A种排法，其中0在百位不能构成三位数，这样的排法有C·C·C·A种，故符合条件的三位数共有C·C·C·C·A－C·C·C·A＝432个．

17．(12分)(1)求值：C+C；

(2)解不等式：－<.

解：利用组合数定义与公式求解．

(1)由组合数定义知：解得4≤n≤5.

∵n∈N^*，∴n＝4或5.

当n＝4时，原式＝C+C＝5；

当n＝5时，原式＝C+C＝16.

(2)由组合数公式，原不等式可化为

－<，

不等式两边约去，得(n－3)(n－4)－4(n－4)<2×5×4，即n²－11n－12<0，解得－1<n<12.

又∵n∈N^*，且n≥5，∴n＝5,6,7,8,9,10,11.

16．(2009·株洲质检二)若(1+mx)⁶＝a₀+a₁x+a₂x²+…+a₆x⁶，且a₁+a₂+…+a₆＝63，则实数m的值为__________．

解析：令x＝1，(1+m)⁶＝a₀+a₁+…+a₆　①，

令x＝0,1＝a₀　②，

①－②，得：a₁+…+a₆＝(1+m)⁶－1

∴(1+m)⁶－1＝63　∴(1+m)⁶＝64

∴1+m＝±2　∴m＝1或m＝－3.

答案：1或－3

15．(2009·唐山一模)(4x²－4x+1)⁵的展开式中，x²的系数为__________．(用数字作答)

解析：C·4+C·(－4)²·1＝180.

答案：180

14．(2009·湖北宜昌模拟)一个五位数由数字0,1,1,2,3构成，这样的五位数的个数为__________．

解析：分两类：(1)万位取1，其余不同的四个数放在不同的四个位置上时有A个：(2)万位取2或3，在余下的四个不同的位置中选两个位置放数字0与3或2时有2A个，故总共有A+2A＝48.

答案：48

13．沿海某市区对口支援贫困山区教育，需从本区3所重点中学抽调5名教师分别到山区5所学校任教，每校1人；每所重点中学至少抽调1人，则共有__________种不同的支教方案．

解析：5名重点中学教师到山区5所学校有A种，而3所重点中学的抽调方法种数可由列举法一一列出为6种．故共有6A＝720种不同的支教方案．

答案：720