例题1　如图，长方体中，，，M是AD中点，N是中点．

(1)求证：、M、C、N四点共面；

(2)求证：；

(3)求证：平面⊥平面；

(4)求与平面所成的角．

(1)取中点E，连结ME、，

∴，MCEC．

∴MC．

　∴，M，C，N四点共面．

(2)连结BD，则BD是在平面ABCD

内的射影．

∵，

∴Rt△CDM-Rt△BCD，∠DCM=∠CBD．

　∴∠CBD+∠BCM=90°．∴MC⊥BD．　∴．

(3)连结，由是正方形，知⊥．

　∵⊥MC，　∴⊥平面．∴平面⊥平面．

(4)∠是与平面所成的角且等于45°．

例题2　如图，正三棱柱的底面边长为a，点M在边BC上，△是以点M为直角顶点的等腰直角三角形．

　(1)求证点M为边BC的中点；

　(2)求点C到平面的距离；

　(3)求二面角的大小．

解析：(1)∵△为以点M为直角顶点的

等腰直角三角形，

∴且．

∵正三棱柱，　

∴底面ABC．

　　∴在底面内的射影为CM，AM⊥CM．

∵底面ABC为边长为a的正三角形，　

∴　点M为BC边的中点．

　(2)过点C作CH⊥，由(1)知AM⊥且AM⊥CM，

　∴　AM⊥平面　∵　CH在平面内，　∴　CH⊥AM，

∴CH⊥平面，由(1)知，，且．

　∴点C到平面的距离为底面边长为．

　(3)过点C作CI⊥于I，连HI，　∵　CH⊥平面，

　∴　HI为CI在平面内的射影，

　∴　HI⊥，∠CIH是二面角的平面角．

在直角三角形中，，

，

∴∠CIH＝45°，　∴二面角的大小为45°

例题3　在棱长为a的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M是棱AB的中点，过A₁，M，C三点的平面交棱C₁D₁于N点，(Ⅰ)求证：四边形A₁MCN为平行四边形；(Ⅱ)求点D₁到平面A₁MCN的距离；(Ⅲ)求直线CD₁与平面A₁MCN所成角的正弦值．

证明：(Ⅰ)∵正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁，

∴平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁．

∵平面A₁MCN∩平面ABCD＝CM，

平面A₁MCN∩平面A₁B₁C₁D₁＝A₁N．

∴CM∥A₁N．同理A₁M∥CN．

∴四边形A₁MCN为平行四边形．

(Ⅱ)延长CN，DD₁交于点P，过D作

DQ^AN，垂足为Q，连PQ，过D₁作D₁H^PQ，

垂足为H，

∵PD₁^平面A₁B₁C₁D₁，ANÌ平面A₁B₁C₁D₁．

∴PD₁^A₁N．

∵D₁Q^A₁N，∴A₁N^平面PD₁Q．

∵A₁NÌ平面A₁MCN，∴平面A₁MCN^平面PD₁Q．

∵平面A₁MCN∩平面PD₁Q＝PQ，D₁HÌ平面PD₁Q，

D₁H^PQ，∴D₁H⊥平面A₁MCN，

则D₁H长即为D₁到平面A₁MNC的距离．易得，D₁H＝a．

另法：连结点D₁和DC的中点G，则D₁G/平面A₁MCN，

点G到平面的距离等于所求距离.

另法：连结MN、MD₁，在三棱锥M－A₁D₁N中，

由等体积法亦可求得所求距离.

(Ⅲ)连CH，∵D₁H^平面A₁MCN，

∴ÐD₁CH即为

CD₁与平面A₁MCN所成的角，在直角△D₁CH中，sinÐD₁CH＝D₁H∶CD₁＝．

例题4　如图，在斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC成60⁰的角， AA₁= 2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点。E是线段BC₁上一点，且BE=BC₁ ．

(1)求证： GE∥侧面AA₁B₁B ；

(2)求平面B₁GE与底面ABC所成锐二面角的大小 ．

解：(1)延长B₁E交BC于F,　 ∵ΔB₁EC∽ΔFEB,　BE＝EC₁

∴BF＝B₁C₁＝BC，从而F为BC的中点．　

∵G为ΔABC的重心，

∴A、G、F三点共线，且，

∴GE∥AB₁，

又GE侧面AA₁B₁B， ∴GE∥侧面AA₁B₁B　　　

(2)在侧面AA₁B₁B内，过B₁作B₁H⊥AB，垂足为H，∵侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，

∴B₁H⊥底面ABC．又侧棱AA₁与底面ABC成60⁰的角， AA₁= 2，

∴∠B₁BH＝60⁰，BH＝1，B₁H＝．

在底面ABC内，过H作HT⊥AF，垂足为T，连B₁T．由三垂线定理有B₁T⊥AF，

又平面B₁GE与底面ABC的交线为AF，∴∠B₁TH为所求二面角的平面角．

∴AH＝AB+BH＝3，∠HAT＝30⁰，　∴HT＝AHsin30⁰＝，

在RtΔB₁HT中，tan∠B₁TH＝＝　，

从而平面B₁GE与底面ABC所成锐二面角的大小为arctan　

　强调建立空间概念问题、用集合观点认识空间图形问题、公理和定理问题、判定定理和性质定理.

10、射影定理

9、等角定理

8、平行公理

7、平面的基本性质及推论

6、线线垂直与线面垂直、面面垂直之间的相互转化.

5、线线平行与线面平行、面面平行之间的相互转化.

4、平面与平面的位置关系

3、直线与平面的位置关系