19．(12分)在△ABC中，已知内角A＝，边BC＝2.设内角B＝x，周长为y.

(1)求函数y＝f(x)的解析式和定义域；

(2)求y的最大值．

解：(1)△ABC的内角和A+B+C＝π，由A＝，B>0，C>0得0<B<.

应用正弦定理，知AC＝sinB＝sinx＝4sinx，

AB＝sinC＝4sin(－x)．

因为y＝AB+BC+AC，

所以y＝4sinx+4sin(－x)+2(0<x<)．

(2)因为y＝4(sinx+cosx+sinx)+2

＝4sin(x+)+2(<x+<)，

所以当x+＝，即x＝时，y取得最大值6.

18．(12分)已知向量a＝(3，－4)，求：

(1)与a平行的单位向量b；

(2)与a垂直的单位向量c；

(3)将a绕原点逆时针方向旋转45°得到的向量e的坐标．

解：(1)设b＝λa，则|b|＝1，

b＝(，－)或b＝(－，)．

(2)由a⊥c，a＝(3，－4)，可设c＝λ(4,3)，求得c＝(，)或c＝(－，－)．

(3)设e＝(x，y)，则x²+y²＝25.

又a·e＝3x－4y＝|a|·|e|cos45°，即3x－4y＝，由上面关系求得e＝(，－)或e＝(－，－)．

而向量e由a绕原点逆时针方向旋转45°得到，故e＝(，－)．

17．(12分)(2009·江西高考)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝，(1+)c＝2b.

(1)求C；

(2)若·＝1+，求a，b，c.

解：(1)由(1+)c＝2b，得＝+＝，

则有＝＝cotC+＝+，得cotC＝1，即C＝.

(2)由·＝1+，得abcosC＝1+；而C＝，即得ab＝1+，则有解得

16．(2010·东北三校二模)已知直线ax+by+c＝0被曲线M：所截得的弦AB的长为2，O为原点，那么·的值等于__________．

解析：依题意，知曲线M是以原点为圆心，2为半径的圆，因为直线被圆截得的弦长为2，所以∠AOB＝60°，所以·＝||||cos60°＝2×2×＝2.

答案：2

15．(2009·石家庄二检)已知A、B是直线l同侧的两个定点，且到l的距离分别为a、b，点P是直线l上的一个动点，则|+3|的最小值是__________．

图4

解析：以直线l为x轴，点B在l上的射影O为坐标原点，建立如图4所示的直角坐标系，则B(0，b)，A(n，a)(n>0)，设P(x,0)，则+3＝(n－x，a)+3(－x，b)＝

(n－4x，a+3b)，|+3|²＝(n－4x)²+(a+3b)²，当n－4x＝0时，|+3|_min＝a+3b.

答案：a+3b

14．已知三个向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，且A、B、C三点共线，则k＝__________.

解析：由A、B、C三点共线，可得＝λ，即(4－k，－7)＝λ(6，k－5)，于是得方程组

利用代入法解得或

答案：－2或11

13．如图3，已知＝3e₁，＝3e₂，C、D是AB的三等分点，则＝__________，＝__________.

图3

解析：＝+＝+＝+(－)＝＝＝2e₁+e₂，

＝+＝+＝+(－)

＝＝

＝＝e₁+2e₂.

答案：2e₁+e₂　e₁+2e₂

12．(2010·东北三校一模)设a＝(a₁，a₂)，b＝(b₁，b₂)．定义一种向量积：a⊗b＝(a₁，a₂)⊗(b₁，b₂)＝(a₁b₁，a₂b₂)．已知m＝(2，)，n＝(，0)，点P(x，y)在y＝sinx的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动，满足＝m⊗+n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)的最大值A及最小正周期T分别为

(　)

A．2，π 　　　　　　　　　　　　　 B．2,4π

C.，4π　 　　　　　　　　　　　　　 D.，π

解析：设Q(x₀，y₀)，＝(x₀，y₀)，＝(x，y)，∵＝m⊗+n，∴(x₀，y₀)＝(2，)⊗(x，y)+(，0)＝(2x，y)+(，0)＝(2x+，y)，∴

⇒代入y＝sinx中得，2y₀＝sin(x₀－)，所以y＝f(x)的表达式为y＝sin(x－)，所以最大值为，周期为4π，选C.

答案：C

11．(2010·湖北八校联考)在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ＝90°，再过二分钟后，该物体位于R点，且∠QOR＝60°，则tan²∠OPQ的值等于

(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　 D．以上均不正确

解析：以O为原点，OP为x轴，OQ为y轴建立直角坐标系，设P(m,0)，Q(0，n)，则有＝2，得R(－2m,3n)，由∠QOR＝60°，得

cos∠QOR＝＝OQ,\s\up6(→OR,\s\up6(→＝，

得27n²＝4m²，即tan²∠OPQ＝＝.故选C.

答案：C

10．(2009·合肥质检二)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若－3+2＝0，则AB,\s\up6(→\s\up7(　等于

(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C．1　 　　　　　　　　　　　　　　　 D．2

解析：+2＝0，∴＝2.

答案：D