13．(20分)已知函数f(x)＝lnx－.

(Ⅰ)判定函数f(x)的单调性；

(Ⅱ)设a>1，证明：<.

解：(Ⅰ)∵f′(x)＝－

＝－＝－

＝＝－.

又∵函数f(x)的定义域为x>0，

∴≤0，

而在(0，+∞)上，只有当x＝1时，f′(x)＝0，

∴f(x)是定义域上的减函数．

(Ⅱ)由(Ⅰ)f(x)是定义域上的减函数，

∴当a>1时，f(a)<f(1)，

即lna－<0，即lna<，

又∵a－1>0，∴<成立．

12．(15分)函数f(x)的定义域为D＝{x|x>0}，且满足：对于任意m，n∈D，都有f(m·n)＝f(m)+f(n)．

(1)求f(1)的值；

(2)如果f(2)＝1，f(3x+1)+f(2x－6)≤2，且f(x)在

(0，+∞)上是单调增函数，求x的取值范围．

解：(1)令m＝n＝1，有f(1×1)＝f(1)+f(1)，解得f(1)＝0.

(2)f(4)＝f(2×2)＝f(2)+f(2)＝2，所以f(3x+1)+f(2x－6)≤2⇔f(3x+1)+f(2x－6)≤f(4)．

因为f(x)在(0，+∞)上是单调增函数，所以f(3x+1)+f(2x－6)≤f(4)⇔

⇔3<x≤，故x的取值范围为(3，]．

11．(15分)已知函数f(x)＝(x∈R)，求f(x)的单调区间，并加以证明．

解：解法1：由函数的单调区间(增区间，减区间)的定义入手分析，取x₁<x₂，分析f(x₁)－f(x₂)的符号，由此找出单调增区间与单调减区间．

∵f(x)＝(x∈R)是奇函数，

∴只需研究(0，+∞)上f(x)的单调区间即可．

任取x₁，x₂∈(0，+∞)，且x₁<x₂，则

f(x₁)－f(x₂)＝－＝.

∵x+1>0，x+1>0，x₂－x₁>0，

而x₁，x₂∈(0,1)时，x₁x₂－1<0；

x₁，x₂∈[1，+∞)时，x₁x₂－1≥0，

∴当x₁，x₂∈(0,1)时，f(x₁)－f(x₂)<0，函数f(x)是增函数；

当x₁，x₂∈[1，+∞)时，f(x₁)－f(x₂)≥0，函数f(x)是减函数．

又f(x)是奇函数，∴f(x)在(－1,0)上是增函数，在

(－∞，－1]上是减函数．

又x∈[0,1)，u∈(－1,0]上恒有f(x)≥f(u)，等号只在x＝u＝0时取到，故f(x)在(－1,1)上是增函数．

综上知，函数f(x)在(－1,1)上是增函数，在(－∞，－1]和[1，+∞)上是减函数．

解法2：f′(x)＝()′＝，

f′(x)>0⇒x∈(－1,1)，即在(－1,1)上函数单调递增．

f′(x)≤0⇒x∈[1，+∞)∪(－∞，－1]即在(－∞，－1]和[1，+∞)上函数单调递减．

综上知，函数f(x)的单调增区间为(－1,1)，单调减区间为(－∞，－1]和[1，+∞)．

10．(2008·湖南高考)已知函数f(x)＝(a≠1)．

(1)若a>0，则f(x)的定义域是________；

(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．

解析：(1)∵a>0且a≠1，要使f(x)有意义，只需3－ax≥0，即x≤.

∴x∈；

(2)若a＝0，f(x)＝－不合题意；

若a<0，y＝是(0,1]上的增函数，且a－1<0，

∴f(x)是(0,1]上的减函数；

若a>0，∵y＝是(0,1]上的减函数，故需a－1>0，∴a>1，另一方面，f(x)的定义域为，

∴≥1，∴a≤3，∴a∈(1,3]． 　

综上知a∈(－∞，0)∪(1,3]．

答案：(1)　(2)(－∞，0)∪(1,3]

9．若函数f(x)＝log_a(2x²+x)(a>0，a≠1)在区间(0，)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为__________．

解析：当x∈(0，)时，0<2x²+x<1，又f(x)>0，则0<a<1.

由2x²+x>0，解得：x<－或x>0，则f(x)的递增区间为(－∞，－)．

答案：(－∞，－)

8．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是__________．

解析：y＝－(x－3)|x|＝

图1

作出该函数的图象，观察图象知递增区间为.

答案：

7．函数y＝ln的单调递增区间是__________．

解析：本题考查复合函数单调区间的确定；据题意需>0即函数定义域为(－1,1)，原函数的递增区间即为函数u(x)＝在(－1,1)上的递增区间，由于u′(x)＝()′＝>0.故函数u(x)＝在(－1,1)上的递增区间即为原函数的递增区间．

答案：(－1,1)

6．(2010·河南六市一模)奇函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，f(2)＝0，则不等式(x－1)f(x+1)>0的解集为　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．(－2，－1)∪(1,2)　 　　　　　　　　　　　　　 B．(－3,1)∪(2，+∞)

C．(－3，－1)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．(－2,0)∪(2，+∞)

解析：奇函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间

(0，+∞)上单调递减，由f(2)＝0得f(－2)＝0，则不等式

(x－1)f(x+1)>0，即

或

其解集为(－3，－1)，故选C.

答案：C

5．设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，，则函数f(x)在(1,2)上　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　

(　)

A．是增函数，且f(x)<0　 　　　　　　　　　　　 　　B．是增函数，且f(x)>0

C．是减函数，且f(x)<0　 　　　　　　　　　　　 　　D．是减函数，且f(x)>0

解析：

答案：D

4．已知f(x)＝log_a[(3－a)x－a]是其定义域上的增函数，那么a的取值范围是(　)

A．(0,1)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．(1,3)

C．(0,1)∪(1,3)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．(3，+∞)

解析：由题知，或，解得1<a<3.故选B.

答案：B