19．(12分)已知向量m＝(cos，cos)，n＝(cos，sin)，且x∈[0，π]，令函数f(x)＝2am·n+b.

(1)当a＝1时，求f(x)的递增区间；

(2)当a<0时，f(x)的值域是[3,4]，求a，b.

解：(1)m·n＝cos²+sincos＝+sinx.

∴f(x)＝a(sinx+cosx)+a+b＝asin(x+)+a+b.

当a＝1时，f(x)＝sin(x+)+b+1.

∵x∈[0，π]，∴x+∈[，π]，由≤x+≤，得0≤x≤.∴f(x)的递增区间是[0，]．

(2)当a<0时，f(x)＝asin(x+)+a+b.

易知sin(x+)∈[－，1]，

∴f(x)∈[(+1)a+b，b]．

则，∴.

18．(12分)(2009·广西南宁模拟)已知函数f(x)＝+asin²x在x＝时取得最大值．

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)求实数a的值．

解：(1)∵cos2x≠0，∴2x≠kπ+(k∈Z)，

∴f(x)的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}．

(2)∵f(x)＝+asin²x＝2sin2x+(1－cos2x)，

∴f(x)＝2sin2x－cos2x+≤+.

∵在x＝时，f(x)取得最大值，则

2sin－cos＝，

∴3－＝，求得a＝－4.

17．(12分)求的值．

解：＝

＝

＝＝

＝＝.

16．给出下列命题：①若{a_n}成等比数列，S_n是前n项和，则S₄，S₈－S₄，S₁₂－S₈成等比数列；②已知函数y＝2sin(ωx+θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y＝2的交点的横坐标为x₁、x₂，若|x₁－x₂|的最小值为π，则ω的值为2，θ的值为；③函数y＝f(x)的图象与直线x＝a至多有一个交点；④函数y＝2sin(2x－)的图象的一个对称点是(，0)；

其中正确命题的序号是__________．(把你认为正确命题的序号都填上)

解析：当q＝－1时，S₄＝S₈＝S₁₂＝0，∴①错．

∵y＝2sin(ωx+θ)为偶函数，0<θ<π，

∴2sin(－ωx+θ)＝2sin(ωx+θ)，∴cosθ＝0.∴θ＝.

∵|x₂－x₁|的最小值为π，周期为2π，ω＝±1.∴②错．

答案：③④

15．已知函数f(x)＝sin(x－)+cos(x－)，g(x)＝f(－x)，直线x＝m与f(x)和g(x)的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为__________．

解析：f(x)＝2sin(x－+)＝2sinx，

g(x)＝f(－x)＝·2sin(－x)＝2cosx，

f(x)－g(x)＝2sinx－2cosx＝4sin(x－)

故|MN|的最大值为4.

答案：4

14．设x∈(0，)，则函数y＝的最小值为________．

解析：∵y＝＝＝k，取A(0,2)，B(－sin2x，cos2x)，则k表示过A、B两点直线的斜率，而B在方程x²+y²＝1的左半圆上，作图(略)，易知k_min＝tan60°＝.

答案：

13．sin14°cos16°+sin76°cos74°的值是__________．

解析：解法1：sin14°cos16°+sin76°cos74°

＝sin14°cos16°+cos14°sin16°＝sin30°＝.

解法2：sin14°cos16°+sin76°cos74°

＝cos76°cos16°+sin76°sin16°

＝cos(76°－16°)＝cos60°＝.

答案：

12．若在x∈[0，]内有两个不同的实数值满足等式cos2x+sin2x＝k+1，则k的取值范围是

(　)

A．－2≤k≤1　 　　　　　　　　 B．－2≤k<1

C．0≤k≤1　 　　　　　　　　　　 D．0≤k<1

图2

解析：原方程即2sin(2x+)＝k+1，sin(2x+)＝.由0≤x≤，

得≤2x+≤，

y＝sin(2x+)在x∈[0，]上的图象形状如图2.

故当≤<1时，方程有两个不同的根，

即0≤k<1.

答案：D

11．设函数f(x)＝Asin(ωx+φ)(A≠0，ω>0，－<φ<)的图象关于直线x＝π对称，它的周期是π，则

(　)

A．f(x)的图象过点(0，)

B．f(x)的图象在[π，π]上是减函数

C．f(x)的最大值为A

D．f(x)的一个对称中心是点(π，0)

解析：∵T＝π，∴ω＝2，

又2·π+φ＝kπ+

∴φ＝kπ+－

当k＝1时，φ＝，验证知选D.

答案：D

10．(2010·黄冈质检)已知函数f(x)＝πsin，如果存在实数x₁、x₂，使得对任意的实数x，都有f(x₁)≤f(x)≤f(x₂)，则|x₁－x₂|的最小值是

(　)

A．8π　 　　　　　　　　　　　　　　 B．4π

C．2π　 　　　　　　　　　　　　　　 D．π

解析：由题意得函数f(x)在x＝x₁、x＝x₂处取得最小值与最大值，结合图象可知|x₁－x₂|的最小值恰好等于该函数的半个周期，即等于×＝4π，选B.

答案：B