4．在进行n＝k+1命题证明时，一定要用n＝k时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法．

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3．注意n＝k+1时命题的正确性．

2．严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个(或两个以上)初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础．

1．数学归纳法仅适应于与自然数有关的数学命题．

11．(2009·陕西卷理)已知数列{x_n}满足，x₁＝，x_n+1＝，n∈N^*.

(1)猜想数列{x_n}的单调性，并证明你的结论；

(2)证明：|x_n+1－x_n|≤()^n－1.

[证明]　(1)由x₁＝及x_n+1＝得x₂＝+x₄＝，x₄＝，由x₂＞x₄＞x₆猜想：数列{x_2n}是递减数列．

下面用数学归纳法证明：

①当n＝1时，已证命题成立．

②假设当n＝k时命题成立，即x_2k＞x_2k+2易知x_2k＞0，那么x_2k+2－x_2k+4＝－＝

＝

＞0.

即x_2(k+1)＞x_2(k+1)+2

也就是说，当n＝k+1时命题也成立，结合(1)和(2)知，命题成立．

(2)当n＝1时，|x_n+1－x_n|＝|x₂－x₁|＝，结论成立．

当n≥2时，易知0＜x_n－1＜1，∴1+x_n－1＜2，x_n＝＞

∴(1+x_n)(1+x_n－1)＝(1+)(1+x_n－1)＝2+x_n－1≥

∴|x_n+1－x_n|＝＝

≤|x_n－x_n－1|≤()²|x_n－1－x_n－2|≤…≤()^n－1|x₂－x₁|＝()^n－1.

亲爱的同学请你写上学习心得

10．设a_n＝1+++…+(n∈N^*)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a₁+a₂+…+a_n－1＝g(n)(a_n－1)对大于1的一切自然数n都成立？证明你的结论．

[解]　假设g(n)存在，探索g(n)．

当n＝2时，由a₁＝g(2)(a₂－1)得g(2)＝2

当n＝3时，由a₁+a₂＝g(3)(a₃－1)得g(3)＝3

当n＝4时，由a₁+a₂+a₃＝g(4)(a₄－1)得g(4)＝4

由此猜想g(n)＝n(n≥2，n∈N^*)

下面用数学归纳法证明：当n≥2，n∈N^*时，等式a₁+a₂+…+a_n－1＝n(a_n－1)成立．

(1)当n＝2时，左边＝a₁＝1，右边＝2(a₂－1)＝2×＝1 ∴等式成立

(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N^*)时等式成立，即a₁+a₂+…+a_k－1＝k(a_k－1)

那么n＝k+1时，a₁+a₂+…+a_k－1+a_k＝k(a_k－1)+a_k＝(k+1)a_k－k

＝(k+1)(a_k+)－(k+1)

＝(k+1)a_k+1－(k+1)＝(k+1)(a_k+1－1)

∴当n＝k+1时，等式也成立

由(1)、(2)可知，对于一切大于1的自然数n，都存在g(n)＝n，使等式a₁+a₂+…+a_n－1＝g(n)(a_n－1)都成立．

9．数列{a_n}满足a₁＝2，a_n+1＝，试观察分析a₂，a₃，a₄，归纳推测出a_n＝________.

[解析]　∵a₁＝2，a_n+1＝∴a₂＝＝，a₃＝＝，a₄＝＝，∴a_n＝.

[答案]　

8．用数学归纳法证明1+++…+＜2(n∈N，且n＞1)，第一步要证的不等式是________．

[解析]　n＝2时，左边＝1++＝1++，右边＝2.

[答案]　1++＜2

7．用数学归纳法证明不等式++…+＜的过程，由n＝k推导n＝k+1时，不等式的左边增加的式子是________．

[解析]　不等式的左边增加的式子是

+－＝.

[答案]　

6．平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，则这n个圆将平面分成几个部分

(　)

A．2n个　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B．2ⁿ个

C．n²－n+2个　 　　　　　　　　　　　 D．n²+n+1个

[解析]　n＝2时，分成4部分，可排除D；n＝3时，分成8部分，可排除A；n＝4时，分成14部分，可排除B，故选C.

下面用数学归纳法证明，记f(n)＝n²－n+2.

(1)当n＝1时，一个圆把平面分成两部分，1²－1+2＝2，命题成立；

(2)假设当n＝k时命题成立(k∈N^*)，即k个圆把平面分成k²－k+2个部分．

当n＝k+1时，这k+1个圆中的k个圆把平面分成了k²－k+2个部分，第k+1个圆被前k个圆分成2k条弧，每条弧把它所在的部分分成了两块，这时共增加了2k个部分，即k+1个圆把平面分成：(k²－k+2)+2k＝(k+1)²－(k+1)+2个部分，这说明当n＝k+1时命题也成立．

由(1)(2)知，对一切n∈N^*，命题都成立．

[答案]　C