1．设是虚数单位)，则

　　 A．　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　 D．

22．(14分)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，一条经过点(3，－)且方向向量为a＝(－2，)的直线L交椭圆C于A、B两点交x轴于M点，又＝2.

(1)求直线L的方程；

(2)求椭圆C长轴长取值的范围．

解：(1)直线L过点(3，－)且方向向量a＝(－2，)

∴L的方程为：＝即y＝－(x－1)

(2)设直线y＝－(x－1)和椭圆+＝1

交于两点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)和x轴交点M(1,0)，由＝2，知y₁＝－2y₂.

将x＝－y+1代入b²x²+a²y²＝a²b²中得

(b²+a²)y²－b²y+b²(1－a²)＝0

由韦达定理

∵有两交点，∴Δ＝(－b²)²－4(b²+a²)·b²(1－a²)>0，化简得：5a²+4b²>5　③

由①②消去y₂得：32b²＝(4b²+5a²)(a²－1)

即4b²＝>0　④

将④代入③得：5a²+>5　⑤

可求得1<a²<9又椭圆的焦点在x轴上，则a²>b²

∴4b²＝<4a²，综合解得：1<a²<

可求得：1<a<

∴所求椭圆长轴长2a的范围是(2，)．

21．(12分)神舟6号飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心(记为A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°，相距4千米，P为航天员着陆点，某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，因此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒．

(1)求在A处发现P的方位角；

(2)若信号从P点的正上空Q点处发出，则A，B收到信号时间差变大还是变小，说明理由．

图5

解：(1)如图5，∵|PC|＝|PB|，∴P在线段BC的垂直平分线上，又∵|PB|－|PA|

＝4，∴P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2)，

∴双曲线方程为－＝1，x>0，

BC的垂直平分线方程为x－y+7＝0，

联立两方程解得x＝8，

∴P(8,5)，k_PA＝tan∠PAx＝，∠PAx＝60°，

∴P点在A点的北偏东30°处．

图6

(2)如图6所示，

设|PQ|＝h，|PB|＝x，|PA|＝y，

∵－＝－＝(x－y)<x－y＝－.

故A，B收到信号时间差变小．

20．(12分)设抛物线过定点A(2,0)，且以直线x＝－2为准线．

(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程；

(2)已知点B(0，－5)，轨迹C上是否存在满足·＝0的M、N两点？证明你的结论．

解：(1)设抛物线顶点为P(x，y)，则抛物线的焦点F(2x+2，y)，由抛物线定义，可得＝4.

∴+＝1.

∴轨迹C的方程为+＝1(x≠－2)．

(2)不存在．

设过点B(0，－5)，斜率为k的直线方程为y＝kx－5(斜率不存在时，显然不符合题意)，

由∴(4+k²)x²－10kx+9＝0.

由Δ≥0，得k²≥.

假设在轨迹C上存在两点M、N，令MB、NB的斜率分别为k₁、k₂，则|k₁|≥，|k₂|≥.

显然不可能满足k₁·k₂＝－1，

∴轨迹C上不存在满足·＝0的两点．

19．(12分)(2010·浙江温州八校联考)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线l：y＝kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．

解：(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．

由已知得a＝，c＝2，再由a²+b²＝2²，得b²＝1.

故双曲线C的方程为－y²＝1.

(2)将y＝kx+代入－y²＝1，

得(1－3k²)x²－6kx－9＝0.

由直线l与双曲线交于不同的两点得

即k²≠且k²<1.①

设A(x_A，y_A)，B(x_B，y_B)，则

x_A+x_B＝，x_Ax_B＝.

由·>2得x_Ax_B+y_Ay_B>2，

而x_Ax_B+y_Ay_B＝x_Ax_B+(kx_A+)(kx_B+)

＝(k²+1)x_Ax_B+k(x_A+x_B)+2＝(k²+1)+k+2＝.

于是>2，即>0，解此不等式得<k²<3.②

由①②得<k²<1.

故k的取值范围为(－1，－)∪(，1)．

18．(12分)已知曲线C的方程为kx²+(4－k)y²＝k+1(k∈R)．

(1)若曲线C是椭圆，求k的取值范围；

(2)若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；

(3)满足(2)的双曲线上是否存在两点P、Q关于直线l：y＝x－1对称，若存在，求出过P、Q的直线方程；若不存在，说明理由．

解：(1)当k＝0或k＝－1或k＝4时，C表示直线；

当k≠0且k≠－1且k≠4时方程为

+＝1，①

方程①表示椭圆的充要条件是

即是0<k<2或2<k<4.

(2)方程①表示双曲线的充要条件是·<0，

即k<－1或－1<k<0或k>4.

①当k<－1或k>4时，双曲线焦点在x轴上，

a²＝，b²＝，

其一条渐近线的斜率为＝＝得k＝6.

②当－1<k<0时，双曲线焦点在y轴上，

a²＝，b²＝－，

其一条渐近线的斜率为＝＝，得k＝6(舍)，

综上得双曲线方程为－＝1.

(3)若存在，设直线PQ的方程为：y＝－x+m.

由消去y，

得4x²+4mx－2m²－7＝0.②

设P、Q的中点是M(x₀，y₀)，则

M在直线l上，

∴＝－－1，解得m＝－，方程②的Δ>0，

∴存在满足条件的P、Q，直线PQ的方程为y＝－x－.

17．(12分)求两条渐近线为x+2y＝0和x－2y＝0且截直线x－y－3＝0所得的弦长为的双曲线方程．

解：设所求双曲线的方程为x²－4y²＝k(k≠0)，

将y＝x－3代入双曲线方程得3x²－24x+k+36＝0，

由韦达定理得x₁+x₂＝8，x₁x₂＝+12，

由弦长公式得

|x₁－x₂|＝· ＝，

解得k＝4，

故所求双曲线的方程为－y²＝1.

16．以下四个关于圆锥曲线的命题：

①设A、B为两个定点，k为非零常数，若||－||＝k，则动点P的轨迹为双曲线；

②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O坐标原点，若＝(+)，则动点P的轨迹为椭圆；

③方程2x²－5x+2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④双曲线－＝1与椭圆+y²＝1有相同的焦点．

其中真命题的序号为__________．(写出所有真命题的序号)

解析：①当k为负值时，动点轨迹不为双曲线；②当＝时，点P不在椭圆上；③④正确，则真命题为③④.

答案：③④

15．过双曲线x²－y²＝4的右焦点F作倾斜角为105°的直线交双曲线于P、Q两点，则|FP|·|FQ|的值为__________．

解析：设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

∵|FP|＝ex₁－a，|FQ|＝ex₂－a，

|FP|·|FQ|＝(ex₁－a)(ex₂－a)

＝e²x₁x₂－ae(x₁+x₂)+a².

k_PQ＝tan105°＝－(2+)．

直线PQ的方程为y＝－(2+)(x－2)．

由得

x₁+x₂＝，

x₁x₂＝.

∴|FP|·|FQ|＝e²x₁x₂－ae(x₁+x₂)+a²

＝2×－2×+4

＝.

答案：

14．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于__________．

图4

解析：如图4所示，由题意

M(－c，)，MF＝FB，

即＝c+a.①

∵b²＝c²－a²，

由①整理得c²－ac－2a²＝0，即

(c+a)(c－2a)＝0.

∴c＝－a(舍)或c＝2a.

∴e＝＝2.

答案：2